условие 2: = -, V/c.

(3.42)

Значение м, обеспечивающее минимум (3.40), можно найти с помощью следующей итеративной процедуры.

Шаг 1. Выбрать значение т и число кластеров с и определить соответствующим образом норму в выражении (3.41). Для и задать начальное значение [/*°ёМ ([/*° целесообразно выбрать случайным образом независимо от м).

Шаг 2. Вычислить центр кластера {и*?}, используя и формулу (3.42).

Шаг 3. Определить [/*, используя {4"} и формулу (3.41).

Шаг 4. Задать подходящую норму и граничное значение S и выполнять предыдущие шаги до тех пор, пока -

Полученные таким образом элементы матрицы U характеризуют степень принадлежности Xj кластеру к, поэтому их можно рассматривать как границу между /с и gr, хотя при сравнении, например, й и й- окажутся почти одинаковыми.

Остается неизвестным значение с. Изменяя произвольным образом значение с, следует выяснить, какое из них будет наилучшим образом представлять физический процесс. Поскольку формулы (3.41) и (3.42) определяют минимум J„, изменяя начальное значение U, можно изменять конечные значения. Для получения хорошего результата следует более внимательно подходить к выбору начального значения. Кроме того, в любом случае трудно распознать небольшую изолированную область.

В работах [39-42] приведены различные примеры применения нес в распознавании изображений. Ниже мы рассмотрим пример анализа изображения, полученный методом телеметрии. В работе [43] рассматривается распознавание изображений с изменением его уровня. В частности, на нижнем уровне осуществляется грубая кластеризация. Например, на аэрофотоснимке города распознаются в общих чертах торговые центры, жилые кварталы и другие объекты. Затем проверяется однородность, и если обнаруживается •неоднородная область, осуществляется ее распознавание на более высоком уровне-производится деление на дома,

Исходный рисунок

Жесткий кяастеризииая

Нечеткая клаотеризааия

Рис. 3.59. Нечеткая кластеризация.

строения, автомобили и т.п. Если это изобразить в виде рисунка, то при нечеткой кластеризации для крупных элементов появляются серые области (рис. 3.59). Деление этих элементов на более мелкие на высоком уровне дает картину, изображенную на рис. 3.60. Распознавание можно распространять на все более мелкие элементы. В работе [43] на примере телеметрического изображения, показанного на рис. 3.61, рассматривается метод НСС. Одни и те же участки обводятся с использованием трех типов спектра. Изображение делится на 32 х 32 элемента; каждый элемент состоит из 10 X 10 ячеек. В данном случае целесообразно деление на четыре кластера: река, постройка, земля, лес. Результат,

12-6830

Рис. 3.60. Кластеризация высокого уровня.

Рис. 3.61. Пример для анализа.

полученный по методу НСС, сравнивается с результатом прорисовки границ, сделанной опытным человеком. Ниже принимается m = 2.

Если изучить три изображения по уровням серого цвета характерных мест четырех кластеров (река), (постройка), Мд (земля), Мр (лес), выделенных человеком, то получаются следующие результаты:

(кластеризация,

выполненная

человеком).

С другой стороны, в результате расчетов по методу НСС при с = 4 получаются следующие значения в центрах кластеров:

(первое применение НСС).

За исключением построек, результаты в обоих случаях почти совпадают. в методе НСС можно считать подклассом Уз или v. При более внимательном рассмотрении оказывается, что площадь построек на изображении чрезвы-

чайно мала, поэтому, очевидно, трудно определить центр кластера Uj. В связи с этим метод НСС был применен вторично при с = 3 и m = 2 для элементов с максимальным значением принадлежности ниже 0,5. Получены следующие результаты:

= (24,4 45,5 21,4) у = (18,3 47,4 23,9) = (41,0 58,6 25,9) J

(повторное применение НСС).

В данном случае v-, близко к приведенному выше значению M,J, а «5, «6 близки к Мд, Мр. В работе [43] рассмотрено также применение метода НСС на втором уровне, причем кластеризация при первом применении проводилась для 16x16 элементов (элемент - 20 х 20 ячеек), с = 3, ш = 2. В результате 175 элементов рассматривались как неоднородные и их вновь классифицировали по четырем типам. Для новых 700 элементов (10 х 10 ячеек) на втором уровне применяли НСС при с = 4, m = 2, и, как сообщается, получены результаты, почти совпадающие с указанными выше.

3.8.3. ОБНАРУЖЕНИЕ РАЗМЫТЫХ ГРАНИЦ

Распознавание размытых границ изображений, например медащинских рентгеновских снимков,-необычайно сложная задача даже для человека, не говоря уже о том, чтобы заставить компьютер понять их содержание. В настоящее время число исследований на эту тему в области искусственного интеллекта постоянно растет, однако проблема не исчерпывается применением только одного какого-либо метода; сомнительно, чтобы можно было найти решение, не используя различные подходы. Одним из таких подходов будет, по-видимому, применение нечеткой логики. В качестве примера ниже описывается исследование, проведенное Пэ-лом и др. [44].

В качестве примера используются рентгеновские снимки костных образований и предлагается метод преобразования неясных очертаний на снимке в четкие контуры. Для этого применяются, в частности, алгоритм обнаружения кривых и петель, предложенный Тау [45], а также сглаживание и сегментация с применением нечетких множеств.

Прежде всего определяются следующие функции принадлежности трех видов линий (вертикальные, горизонтальные и наклонные), из которых в основном состоят неясные очертания:

Вертикальные \iy(x) =

, mj> 1, О в противном случае.

(3.43)

Горизонтальные \i„(x) =

1 -mj4 Nxl< 1, О в противном случае.

(3.44)

Наклонные Цов (л:) =

0-45

О в противном случае.

, 0< < оэ,

(3.45)

где т( = tg0)-наклон линии х (рис. 3.62,а), F-положи-тельный параметр, с помощью которого подбирается степень нечеткости.

«Кривизна» отрезка х представляется следующей функцией принадлежности:

Цагс() = ( I-tT (3-46)

где а-длина линии, связывающей концы отрезка, /-длина отрезка. С уменьщением аЦ кривизна возрастает (рис. 3.62,6).

Контуры обнаруживаются как М х iV-мерное изображение серого цвета. Для преобразования изображения в одномерную символьную строку направление отрезка, состоящего из W элементов, представляется одним из кодов восьми направлений (рис. 3.63.) При поиске контуров с помощью сканирования изображения отыскиваются элементы, контрастность которых не равна нулю, причем поиск ведется в направлении наиболее сильной ориентации. Если при поиске ориентацию элементов определять сразу для нескольких элементов, а не для одного и принимать за направление этого отрезка максимум степени принадлежности, то можно существенно сократить объем вычислений и объем памяти.

Рис. 3.62. Функции принадлежности линии (а) и кривой (б).

В случае когда существуют два и более одинаково сильных направления, используется ранее полученная информация и выбирается направление наибольщей связности. Информация об этом используется в дальнейшем как развилка. Кроме того, при достижении определенной длины контура начало отрезка переносится. Благодаря этому распознаются контуры в виде петель и появляется возможность повторно трассировать контуры, если в них пропущены некоторые участки.

Для сглаживания контуров применяются следующие четыре процедуры, не использующие понятия нечеткости.

1. Если подряд следуют четыре и более одинаковых кода, но между ними попадается один код (или два соседних кода) другого направления, то этот код либо заменяется на последующий или предьщущий, либо исключается.

2. Если сначала следуют подряд четыре и более одинаковых кода, а затем два других кода или если значения этих кодов равны 6 и 3, то делается то же самое, что в первом случае.

3. Если два соседних элемента имеют противоположные направления, то они исключаются.

4. Формируются правила вычисления векторной суммы

Рис. 3.63. Кодирование направлений.