ВхоВ

10,11

V = /(*)

10.11

* . Г I

0 0 11 0 10 1 НЕ

хЪП.О)

* (0,0)

Рис. 2.6. Комбинаторные схемы с одним входом и одним выходом.

о-схема с одним входом и одним выходом; б-четыре отношения входа и выхода; в-вентиль НЕ (инвертор); г - представление последовательности с помощью диаграммы Хассе.

отношения входа и выхода. Среди них важна операция НЕ; элемент, реализующий эту операцию, носит название инвертора или вентиля НЕ (рис. 2.6, в). Кроме того, на рис. 2.6, г представлена диаграмма Хассе, задающая последовательность этих четырех операций: О и 1 сравниваются поразрядно, выше размещаются пары с большими значениями, и пары, которые можно сравнивать, соединены линиями (в этом случае х и х не соединены линией, поскольку (О, 1} и (1, 0) не сравнимы).

Далее рассмотрим случаи двух входов:

/:{0, 1} - {О, 1}

и; ш (2.32)

(jCl, Х2)У y=f{Xi. Х2).

В этом случае существует 16 отношений входов и выхода (рис. 2.7,6). Среди них-самые важные операции И, ИЛИ, НЕ-И, НЕ-ИЛИ, исключающее ИЛИ~ЕХОК (рис. 2.7,в). Представление последовательности операций с помощью диаграммы Хассе дано на рис. 2.7, г. Если подобным образом рассмотреть схемы для я = 3 и и = 4, то найдем 2" комбинаторных схем с входами и одним выходом. Поэтому

I10-

*го-10, П

10. и

8хады

Выход »=/(ii.*j)

0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 0 10 1 0 1 0 I

Исключаю(цее ИЛИ ИЛИ НЕ-ИЛИ б

1 1 1 1

HI-и

1:" it Ol"

вентам и Ьентим КМ Вентам ие-И вентиль НС-И/1И Вентиль

исктчаящк ИЛИ

/(1111)

или »!+«(ош:

+35 ис-т

Рис. 2.7. Комбинаторные схемы с двумя входами и одним выходом.

а-комбинаторная схема с двумя входами и одним выходом; 6-16 отношений входов и выходов; в-обозначения, лвухвходовых схем; г - представление последовательности с помощью диаграммы Хассе.

уже При И = 4 их число достигнет 65536, т. е. происходит так называемый комбинаторный взрыв. Однако достаточно изучить схемы до W = 2. Дело в том, что справедливы следующие три равнозначных утверждения.

1. Любую булеву функцию f(x,X2.....-О можно синтезировать путем применения к входным переменным Aj, .....

операций НЕ, И, ИЛИ.

2. Любую булеву функцию/(xj, jcj.....-О можно реализовать с помощью синтеза операций НЕ-И над входными переменными л:,, xj, х„.

3. Любую булеву функцию/(х,, jtj,.... л"J можно реализовать с помощью синтеза операций НЕ-ИЛИ над входными переменными х, х-.....х„.

Если представить эти утверждения в терминах аппаратных средств, получим:

а) любую комбинаторную схему можно построить только с помощью инверторов, вентилей И и ИЛИ;

б) любую комбинаторную схему можно построить толь ко с помощью вентилей НЕ-И;

в) любую комбинаторную схему можно построить только с помощью вентилей НЕ-ИЛИ.

Если рассматривать последовательностные схемы и учитывать временные факторы, то в качестве базовых элементов памяти можно использовать триггеры и другие подобные элементы, однако их тоже можно построить с помощью указанных выще вентилей. Поэтому говорят, что НЕ, И, ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ образуют полные системы в булевой алгебре, и в целом этого достаточно для понимания логики компьютера.

Однако в компьютерах искусственного интеллекта, и прежде всего в компьютерах пятого поколения, в нечетких компьютерах, основанных на нечетких логических выводах (приближенных рассуждениях), удобно на первый план выдвинуть операции, отличные от этих базовых операций. Одна из них соответствует операции .х, \х2, приведенной на рис. 2.1,6. Она называется импликацией. Обычно эту операцию обозначают стрелкой: x-Xj и читают так: если х, то jcj. Здесь .Х] называют антецедентом, предпосылкой, условием, допущением, а -заключением, выводом, операцией. Если представить в виде таблицы значения операции импликации (в общем случае такая таблица называется таблицей истинности), то получим табл. 2.1. Часть, обведенная штриховой линией (читается так: если условие х есть ложь ( = 0), то, независимо от заключения Xj операция x -Х2 есть истина (=1)), иногда не вполне понятна людям, начинающим изучать логику.

Можно доказать (это легко сделать с помощью таблицы истинности или другим способом), что операцию импликации можно реализовать следующим образом с помощью

Таблица 2.1. Таблица истчнностр операции импликации

полной системы НЕ, И, ИЛИ:

.Х~1+Х2.

(2.33)

л; л2 - л] т -2-

Эту формулу необходимо запомнить как одно цз наиболее важных свойств этой операции.

В общем случае при логических выводах в искусственном интеллекте выполняется силлогизм, в основе которого лежат подобные операции импликации. Силлогизм можно представить несколькими формулами. Например, формула

xi ->x2

хзх, (2.34)

представляет собой вывод из утверждений «если птица, то летает», «если летит, то направляется ца тот рон ортров» заключения «если птица, то направляется на тот воц остров». Формула

(2.35)

представляет вывод из утверждений «если птица, то летает» и «это животное-птица» заключения «это животное летает». Следующая формула

(2.36)

представляет вывод из утверждений «если птица, то летает»

И «это животное не летает» заключения «это животное не птица» (при этом исключения мы не принимаем во внимание). При изучении нечетких выводов с расчетом на их применение важное значение имеет формула (2.35), называемая «модус поненс». Кроме того, вывод jCj -> х типа «если птица, то летает» или знание типа «если-то ...» называют процедурными знаниями, а знания типа утверждения «это животное - птица» - декларативными знаниями.

2.3. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Рассмотрим снова формулу (2.7), определяющую характеристическую функцию Хл() четкого множества А в полном пространстве X, равную 1, если элемент х удовлетворяет свойству А, и равную О в противном случае. Таким образом, речь шла о четком мире, в котором наличие или отсутствие заданного свойства определялось значениями О или 1 («нет» или «да»).

Однако в мире очень многое не делится только на белое и черное. Скорее это в порядке вещей. Например, в ответ на вопрос: «Не считаете ли Вы возможным привлечь господина X к участию в этом проекте?» нередко можно услышать: «Не думаю, что это хорошая кандидатура, но другой нет, поэтому придется это сделать». Было бы неправильно ставить в один ряд «да» в этом смысле и «да» в смысле «разумеется, господин X подходит». Поэтому профессор Калифорнийского университета Заде опубликовал в 1965 г. в журнале «Информация и управление» статью «Нечеткие множества», в которой он расширил двузначную оценку О или 1 до неограниченной многозначной оценки выше О и ниже 1 в [О, 1] и впервые ввел понятие «нечеткое множество». Фигурные скобки { } используются для обозначения множества, а квадратные [ ] и круглые скобки ( ) соответственно для обозначения замкнутого и открытого интервала действительных чисел. Например:

[О, 1] = {.х0<х1}, (2.37)

(О, 1)= {.x0<jc< 1}, (2.38)

[О, 1) = {.х0 < JC < 1}. (2.39)

Кроме того, Заде вместо термина «характеристическая функция» использовал термин «функция принадлежности». Не-

четкое множество А в полном пространстве X определяется через функцию принадлежности (л:) следующим образом:

тя:Х-*[0, 1]

Ф (2.40)

X к-. ш(.<).

(Вместо терминов «нечеткое множество», «функция принадлежности» иногда используют другие: «размытое множество», «функция адекватности» и т.д. Кроме того, вместо И1югда используют обозначения ц, fj. Для того чтобы отличить нечеткое множество А от четкого, нередко вводят

обозначение Л.)

Чаще всего определение нечеткого множества интерпретируют следующим образом: «величина m(x) обозначает субъективную оценку степени принадлежности х множеству Л, например m(jc) = 0,8 означает, что х на 80% принадлежит А». Следовательно, должны существовать «моя функция принадлежности», «твоя функция принадлежности», «функция принадлежности специалиста хь и т. д. В случае графического представления диаграмму Венна на рис. 2.1 часто заменяют концентрическими окружностями, как на рис. 2.8, а. Кроме того, в случае функционального представления прямоугольный график на рис. 2.2 преобразуют в колоколо-образный график, как на рис. 2.8,6.

Обратим внимание на связь четкого и нечеткого множеств. Два значения {О, 1} принадлежат замкнутому интервалу [О, 1]. Следовательно, четкое множество является частным случаем нечеткого множества, а понятие нечеткого множества является расширенным понятием, охватываю-

Рис. 2.8. Графическое представление нечетного множества.

" представление функции принадлежности с помощью концентрических линий; б-колоколообразная функпия принадлежности.