щим и понятие четкого множестра. (Другими словами, четкие множества на рис. 2.1 и 2.2 являются также и нечеткими множествами. Вместо термина «четкое множество» иногда используют термин «неразмытое множество», но слоро «неразмытое» может быть понято в смысле «не являющееся нечетким множеством», поэтому термин «неразмытое множество» мы пе будем здесь использовать.)

Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности. Другими словами, логика определения понятия нечеткого множества не содержит какой-либо нечеткости (про нечеткую логику говорят, что она взята с потолка или создана спустя рукава). Дело в том, что нечеткое множество строго определяется с помощью оценочных значений [О, 1] в а это и есть функция принадлежности. В случае когда пространство X ограничено, эти значения указывают из чисто практических соображений, например в одном из методов указания функции принадлежности используются знаки разделителя/ и ИЛИ +. Например, пусть Х-множество целых чисел, меньших 10, определенное формулой (2.3), тогда нечеткое множество А «маленьких чисел» можно обозначить в виде

А = 1/0 + I/I + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4.

(2.41)

Здесь, например, 0,8/2 означает ш 4(2) = 0,8. При этом опу екают члены со значениями функции принадлежности, рав ными 0.

Можно рассматривать различные операции над нечетки ми множествами по аналогии с четкими множествами. Наи более распространенные определения отношения вложения дополнительного нечеткого множества, произведения нечет ких множеств и суммы нечетких множеств обычно запись: ваются в следующем виде:

А CZ В*-*т(х) тв(х) для хеХ, тс (х) = 1 - т (х) для Vx е X, тл п в(х) = т{х)/\тв(х) для VxeX, тл и в(х) = т(х)\/тд(х) для "хеХ.

(2.42 (2.43 (2,44 (2.45

Графически с помощью колоколообразной функции принад лежности эти понятия изображены на рис. 2.9.

Если обозначить через R{X) совокупность всех нечетки

Рис. 2.9. Основные операции над нечеткими множествами.

и отиошеине вложения А с В:, б-дополнительное нечеткое множество Л: I, произведение нечетких множеств An В; ;>-сумма нечетких множеств A\j В.

множеств в X, то система {R{X), П, U), очевидно, не

оГфазует булеву алгебру. Однако для операции с справедли-ны рефлексивность, антисимметричность, транзитивность. Кроме того, легко доказать также законы идемпотентности, ксшмутативности, ассоциативности, двойного отрицания и 5с1кон де Моргана. Но не выполняется закон комплементар-иости, т.е. в случае нечеткого множества выполняются соотношения

АП АФ, A\J AczX, (2.46)

причём равенство не удовлетворяется, что видно из рис. 2.10.

Рис, 2.10. Невыполнение закона Рис. 2.11. Степень а нечеткого мно-комплементарности. жества (а = 2, 1/2).

Однако все другие законы выполняются, и система (Р(Х), с, П , и) образует так называемую полную псевдобулеву алгеб-РУ-

Кроме указанных выше операций можно определить (неограниченно) много операций над нечеткими множествами. Среди них отметим лишь те, которые являются важными с практической точки зрения.

Прежде всего определим унарную операцию степени а нечеткого множества А (показатель степени а-положительный параметр) следующим образом:

ma{x)={m{x)Y для VxeX (2.47)

Если представить графически наиболее часто используемые степени 2 и 1/2, то получим рис. 2.11. Когда с помощью нечеткого множества А представляют некоторую нечеткую информацию, тогда А сужает диапазон ее определения (уточняет его). Поэтому можно сказать, что А это «более чем» А, кроме того, расширяет диапазон, т.е. A это «почти что» А. Аналогично, степени 4 и 1/4 часто используют, интерпретируя их как «А* = более чем более чем А = (более чем) А» и т. д. Однако если бы А было четким множеством, то степени 1 и О не изменили бы значения 1 или О, поэтому и А, и А" представляли бы одно и то же. Определение степени было бы возможным, но бессмысленным.

Рассмотрим бинарные операции. Вместе с произведением множеств А (] В часто используются алгебраическое произведение А В, граничное произведение АО В, драстическое произведение А А В:

т.в(х) = т(х)-тв (х) для хеХ, (2.48)

Аов (х) = (т (х) + тд{х)~1)\/0 для Vx е X, (2.49)

тв{х), если mjx) = 1,

тАв{х) = <, "Aix), если тв(х) =1 для хеХ, (2.50) О в других случаях.

Вместе с суммой множеств А U В часто используют алгебраическую сумму А + В, граничную сумму А® В, драстиче-

От английского слова drastic (решительный, радикальный).-Прим. перев.

скую сумму AVВ:

тв{х) = т{х) + тв[х)-т{х)тв{х) для VjceZ,

тАв{х) = {т{х) + тв{х))/\\ для УхеХ, (2.52)

Г тв{х), если тЛх) = О,

I 1 в других случаях.

Иллюстрирует эти понятия рис. 2.12.

Кроме того, важны понятия разности нечетких множеств А - В и абсолютной разности А - В:

т в{х) = {тЛх)-тв{х))УО для VxeX, (2.54)

тл-в{х)=\тл{х)-тв{х)\ Для VxeX. (2.55)

Все указанные выше бинарные операции существуют и для четких множеств, но если мы начнем их преобразовывать в нечеткие множес i на, i о появится возможность определять огромное число др> i их бинарных операций. Среди таких операций назовем часто используемую операцию Х,-суммы At В (X, - параметр, больший О и меньший 1):

т.в{х) = >т[х) + {\-к)тв{х) для хеХ. (2.56)

Это-среднее А к В с весами X, и (1-Х.) (или выпуклое линейное объединение первого порядка А и В). При X = 0,5 это - арифметическое среднее (данная операция приводит к результату, не принадлежащему множеству {О, 1}, поэтому для четких множеств подобное определение невозможно). Между произведением, суммой и Х-суммой множеств

Рис. 2.12. Упорядоченные операции произведения и суммы нечетких

множеств.

о-произведения нечетких множеств, б-суммы нечетких множеств.

справедливо следующее строгое соотнощение вложения:

4)AABcAOBczABczA П В At Ва

czA иВс:А + ВА@ВсАУВХ. (2.57)

что легко доказать, проверив соответствующие неравенства для функций принадлежности.

2.4. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА

Основное понятие нечеткого множества, приведенное в предыдущем разделе, называют нечетким множеством первого рода. Кроме этого исследуют многочисленные расширенные понятия. Обычно в прикладных задачах в большинстве случаев рассматривают именно множества первого рода. Однако с точки зрения методов представления нечеткой информации имеется несколько существенных моментов. Поэтому рассмотрим кратко другие нечеткие множества.

В основном определении нечеткого множества (формула (2.40)) для каждого элемента х полного множества X задается вещественная числовая оценка т (х). Другими словами, это поточечное определение для каждого элемента х. Следовательно, нечеткая информация оценивается вещественным числовым значением в [О, 1] при условии, что каждый элемент х фиксируется и рассматривается отдельно.

Если же [О, 1] заменить на что-нибудь другое, что дает преобразование двузначной точной оценки [О, 1] в нечеткую неограниченную многозначную оценку, то можем получить различные специальные понятия нечеткости. Ниже выделим наиболее важные из них.

Например, пусть принадлежность х к А оценивается в 80%, т.е. примем ш 4(х) = 0,8. Если при этом спросить: обязательно ли т{х) есть 0,8, почему не 0,7 или 0,9?, то нередко можно услышать: 0,8 это примерно, оценка может меняться в ту или иную сторону. Поэтому вместо указания конкретного значения в [О, 1] с помощью нижнего и верхнего значений задают допустимые пределы оценки, например т(х) может принимать значения в [0,7; 0.9]. Так вводится понятие нечеткого множеС1ва, определенного на интервале (рис. 2.13,6). Конечно, здесь можно возразить: значение 0,7 для нижней границы ничем не лучше 0,69. О верхней границе 0,9 можно сказать тО же самое. Поэтому предлагается

-• II0.7

0-1-

0.9 1-0.711-

Р(Д)= I

I Истина

Почти истина > Не знаю I Почти ложь I Ложь

Рис. 2.13. Оценочные значения в расширенных понятиях нечетких

множеств.

а нечеткое множество первого рода; о-нечеткое множество со значениями в интервале; в-нечеткое множество второго рода; г-вероятностное множество; () нечеткое множество, определенное на лингвистических переменных; е нечеткое множество на решетке.

понятие нечеткого множества второго рода, для которого не используются точные оценки в определенном интервале, а за значения m(x) принимается нечеткое множество над значениями оценки в [О, 1] (рис. 2.13, в). В противоположность этому понятию основное нечеткое множество по формуле (2.40) называют нечетким множеством первого рода. Нечеткое множество второго рода обозначают следующим образом:

m;X->[0, 1]°-ч. (2.58)

В общем случае если (7, К-множества, то t/ представляет собой отображение областей определения множеств, при котором область значений К принимается за [/:

(2.59)