Методы нечеткого статистического принятия решений

Методы статистического принятия решений используются в случае выбора оптимальных действий среди нескольких из них, полученных при принятии различных решений в экономике. При этом вычисляются ожидаемые эффекты от каждого действия и определяется действие с максимальным значением эффекта. В реальных проблемах часто встречаются или нечеткие действия, например: «если уж выбирать, то пусть будет так», или нечеткие условия, например: «товар хорошо раскупается». В подобных случаях используется обобщенный метод нечеткого статистического принятия решений.

5.1.3. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕЬШЯ НЕЧЕТКИХ МЕТОДОВ

В БИЗНЕСЕ

В случае применения нечетких методов в бизнесе в отличие от существующих методов планирования и управления есть возможность активного использования различных мнений лиц, осуществляющих планирование и принимающих решения, а также нечеткой информации, выраженной словами. Например, при определении коэффициентов и параметров моделей, весов и ограничений параметров оценки иС пользуются функции принадлежности, меры возможности и необходимости и нечеткие числа. При этом решения получаются в нечетком виде, соответствующем нечеткости заданной информации. Вместо аппроксимации реальных систем и проблем упрощенными моделями лучше строить модели, привлекая человека к планированию в естественной манере, а полученным решениям придавать большую свободу толкования, указывать их в понятном для человека виде, а уже потом просить его делать окончательное заключение. В этом смысле нечеткую методологию можно рассматривать как гибкую методологию, помогающую человеку в области бизнеса в условиях постоянно меняющегося мира.

Однако применение нечеткой методологии порождает немало нерешенных проблем, и необходимо ее развитие с учетом опыта, накопленного в различных областях.

5.2. Моделирование крупных систем

Экономические проблемы, проблемы охраны окружающей среды, сохранения ресурсов и многие др. сводятся К моделированию крупных нелинейных систем, в которых тесно переплетены разнородные переменные. Для их моделирования А. Г. Ивахненко предложил групповой метод обработки данных (ГМОД) [5]. Этот метод не требует априорных знаний о структуре системы, а позволяет моделировать нелинейную систему на основе принципа эвристической самоорганизации по входным и выходным данным. В данном разделе в основном рассмотрен нечеткий ГМОД, отождествляющий параметры модели с нечеткими числами, и приведен пример его применения. Метод целесообразно применять для моделирования нечетких явлений.

5.2.1. ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРВАЛЬНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

Нечеткие линейные регрессионные модели, или вероятностные линейные регрессионные модели [7, 8], уже строго формализованы. Ниже рассмотрим наиболее простой случай нечетких чисел - линейные интервальные регрессионные модели, основанные на понятии интервала.

В качестве математической модели нечетких явлений часто используют линейные интервальные системы, коэффициенты которых заданы на интервале:

Y=AiX+... + A„x„, (5.1)

где Х(-известные переменные, .4;-интервалы. Интервал Л, можно описать следующим образом с использованием его центра ttj и ширины cf.

А, = (а,, с,). (5.2)

Если нечеткое число, его можно считать треугольным нечетким числом с центром а; и шириной с".

Интервальный выход У для формулы (5.1) можно вычислить следующим образом:

Другими словами, /1;-нечеткое множество, функция принадлежности которого Имеет вид равнобедренного треугольника.-Пргш. перев.

У=(Еа,х„ Zc,x;) = (ax,cx), (5.3)

где а = (О],..., а„), с = (сj,..., с„)-векторы-строки, х = = (.X],", л:„)-вектор-столбец. Приведем пример:

(3, 1)-2 + (4,2)-(-1) = (2, 4),

т. е. получен интервал с центром 2 и шириной 4.

Отношения вложения двух интервалов Ai и Aj (Л; с А можно представить следующими неравенствами:

(5.4)

ttj - Cj < а, - Cj,

ttj + Cj < ttj -(-

Рассмотрим метод получения линейной интервальной регрессионной модели линейной интервальной системы. Пусть Л-число заданных входных и выходных данных; обозначим их через (у;, Х;), г = 1, JV. При этом г.-выходные или наблюдаемые переменные, Х; = (хп, х;»)-входной вектор или объясняемые переменные. Оценочная линейная интервальная модель

Y* = A\xi,+ ... + A*„Xi„ (5.5)

строится следующим образом.

1. Заданные наблюдаемые значения у,- включаются в Оценочный интервал У*, т.е. для всех i уе У*.

2. Ширина г-го оценочного интервала определяется как

Z I -у I = с IХ; . Желательно, чтобы эта ширина была

наименьшей. Поэтому будем минимизировать сумму значений ширины оценочного интервала, т.е. будем определять интервальные коэффициенты А* = (а*, cf), минимизирующце сумму

S=ZHxJ. (5.6)

i = 1

Требования (1) и (2) можно привести к следующей проблеме линейного программирования:

А = min X i1

(а, с) i = 1

>,. ах,.-сх,., (5.7)

>;<ах,.+ сх,., е>0, г=1, ...,N.

Другими словами, путем решения проблемы линейного программирования с ограничивающим условием (1) и целевой функцией (2) можно получить оценочные интервальные коэффициенты А* = (а*, с*).

Регрессионный анализ линейных интервальных систем тем самым сведен к проблеме линейного программирования, поэтому можно ввести знания специалистов о коэффициентах. Например, об гм коэффициенте есть весьма смутные знания, но известно, что он заключен в интервале = (pj, Ь). Тогда оценочный интервальный коэффициент Ai следует вложить в Д;, т. е. ввести ограничение Л, с В. Используя формулу (5.4), запишем

bi-biui- с„ Pi -Ь Oj с,. (5.8)

Если добавить это ограничение и решить проблему линейного программирования (выражение (5.7)), то можно получить оценочные интервальные коэффициенты А*, отражающие знания специалиста.

Из приведенной выше формализации можно сделать следующие выводы.

1. Заданные данные имеют ограничения, поэтому решение проблемы линейного программирования существует при любых заданных данных.

2. Увеличение числа данных расширяет оценочный интервал. Увеличение числа данных для решения можно интерпретировать как приобретение новой информации или расширение возможности Оценки. При традиционном линейном регрессионном анализе чем больше число данных, тем меньше интервальная оценка, поэтому это свойство отличается от свойств изложенного выше метода.

3. Если между объясняемыми переменными наблюдается подчиненность, при традиционном регрессионном анализе знак оцениваемых коэффициентов меняется на обратный. Если при регрессионном анализе на интервале есть смутные знания о коэффициенте, это знание можно ввести как ограничение в формуле (5.8). Следовательно, возможно моделирование с учетом знаний специалиста и структуры заданных данных.

4. Для моделирования нечетких явлений необходимо уметь отражать наше частичное незнание о явлении. Именно так можно интерпретировать интервальные коэффициенты.

5. Получаемая линейная интервальная модель содержит

все заданные данные, поэтому ее нельзя интерпретировать как модель с тенденцией к центрированию, как в традиционном регрессионном анализе. Эта модель отражает вероятности, свойственные данным.

5.2.2. НЕЧЕТКИЙ ГМОД

Используя линейную интервальную регрессионную модель, построим нечеткий ГМОД. Для представления оценочного интервала 7 в виде нечеткого числа возьмем треугольное нечеткое число с центром а и шириной с и обозначим через РуСу) его функцию принадлежности.

Для заданных наблюдаемых данных {y, х,) построим несколько частичных линейных моделей, упорядочим их иерархически и получим оценочную формулу модели. Частичные линейные модели назовем частичным представлением. В качестве частичного представления используем следующую линейную интервальную модель:

Y = Ао + АХр + Ах + Axj + Ах +АХрХ, (5.9)

где 0,..., интервальные коэффициенты, 7-интервальный выход, р, q = 1,..., п, р Tq. Для представления интервального выхода Y нечетким числом выберем треугольное нечеткое число. Его функцию принадлежности обозначим через [1у(у). Интервальные коэффициент Aq,...,A получим, решив проблему линейного программирования (выражение (5.7)).

Получив несколько частичных представлений, необходимо установить критерий выбора: какое из частичных представлений дает наилучшую модель. В качестве такого критерия Оценки определим следующую функцию:

JlJilJVK (5.10)

i = i

/Г = Рг;(>,), JP = cX;. (5.11)

J J указывает меру близости наблюдаемых значений к центру Оценочного интервала У. Это означает, что чем больше оценочное значение J Р, тем ближе наблюдаемое значение к центру оценочного интервала У. J Р указывает ширину Оценочного интервала Y. Следовательно, чем мець-

ше оценочное значение J Р, тем меньше ширина и тем лучше оценка. Итак, оценочная модель с наименьшим оценочным значением J-это та модель, которая наиболее хорошо аппроксимирует заданные данные {у, Х;).

Теперь опишем алгоритм нечеткого ГМОД.

Шаг 1. Определим входные переменные Хц, i= \, N, j= 1, для наблюдаемых значений у. При необходи-

мости нормализуем наблюдаемые данные (yi, х,).

Шаг 2. Рассмотрим корреляции между наблюдаемым значением у и каждой входной переменной Xj, выберем только входные переменные Xj, j = I, ...,т, «< ш, с наибольшим коэффициентом корреляции.

Шаг 3. Разделим наблюдаемые данные (у, Х;) на подготовительные данные (ниже обозначим как ПД, N, данных) для получения линейных интервальных регрессионных моделей и на контрольные данные (ниже обозначим как КД, данных) для выбора промежуточных переменных. Метод разделения состоит в следующем: каждое третье по номеру данное (г = 3, 6, 9, ...) и последнее данное отнесем к КД, оставшиеся данные-к ПД.

Шаг 4. Для комбинаций х, х двух входных переменных Хр используя ПД, получим следующую формулу частичного представления и будем считать ее линейной интервальной системой:

>i = Aok + itxp + A2kX + Аз1,х1 + Axl + AkXx,

(5.12)

где У, k= 1, 2,и(и - l)/2,-/c-e частичное представление. С помощью линейной интервальной рекурсии получим интервальные коэффициенты А = (а, с). Оценочное значение У задано на интервале, поэтому промежуточные переменные на следующем уровне иерархии имеют вид

Ук = аок + апХр + а2кХ + akxj + акх] + акХх,

(5.13)

т.е. учитываем только центральное значение в интервале.

Шаг 5. Используя интервальные коэффициенты А, полученные с помощью ПД на этапе 4, преобразуем КД по формуле (5.12). Степень близости к наблюдаемым значениям У{ в частичном представлении оценим с помощью формулы (5.10). Пусть эта степень есть J. Среди оценочных значении J выберем в качестве промежуточных переменных