г значений в порядке, начиная с наименьшего оценочного значения, остальные опустим. Используя оценку J, определим следующим образом пороговое значение 0 на этом уровне иерархии:

в = min Jj.

(5.14)

Шаг 6. Используя промежуточные переменные - Ур, ~ Уд полученные на этапе 4, построим формулы частичного представления на следующем уровне иерархии. Далее повторим шаги 4-6.

Шаг 7. Используя оценочное значение на шаге 5, сравним пороговое значение 0, на уровне / с пороговым значением 0,+ i на уровне I + 1, ив случае, если справедливо следующее соотношение

0,+ 1 = min 5: 0, = min Л, /=1,2,

(5.15)

закончим алгоритм.

Если сделать замену всех промежуточных переменных, вычисленных до самого первого уровня, получим оценочную модель. Это и будет линейной интервальной моделью, соответствующей данным.

5.2.3. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ГМОД

Рассмотрим применение ГМОД к прогнозированию температуры воды в водохранилище, образованном дамбой [93. Данный прогноз имеет важное значение для роста риса на заливных полях. Используя данные о температуре воды и воздуха с 1 июля по 31 августа 1980 г. для одной из дамб префектуры Аити, только по данным за июль получена Оценочная модель, отражающая структуру температуры воды в водохранилище. Используя эту модель, сделан прогноз температуры воды в августе. Полученные данные указаны на рис. 5.1, где даны температуры воздуха и воды на глубинах 5, 10 и 15 м. Структурная формула для температуры воды на глубине 10 м имеет следующий вид:

Y= Aq + АХгхХгъ + АХггХц + Axli +

+ AX2i X2iXl2 + 5-21 а:22а;2за;25 + Afxjixh,

Температура

Температура воды (S м) "Температура воды H5if

10 20 1 10 20 31

Иш Шуст

Иесяа/день

Рис. 5.1. Данные наблюдений.

где 0 = (13.46, 0.3), Л, =(0.37•]0- 0), Л2 = (0.4•10- 0), Лз = (0.26•10- 0), Л = (0.02-10 0), 5 = (0.03-]0- 0), Af, = (0.77- lO", 0), A-j-наблюдаемые значения температуры воды на глубине 5 м: X2i-3a 1 день, Хгг-за 2 два, хгз-за 3 дня и Х25-за 5 дней до прогнозируемого дня. На рис. 5.2 приведен график оценочных значений температуры воды на глубине 10 м. На рис. 5.3 указаны интервальные прогнозируемые значения и реальные наблюдаемые значения температуры воды на глубине 10 м в августе. Допуск (ширина) интервальных прогнозируемых значений менее 0,3 °С. Среди наблюдаемых значений за 31 день данные за 22 дня попадают в интервал прогнозируемых значений, что говорит о достаточно хорошей модели оценки.

7/10 7/20

Месяа/день

7/31

Рис. 5.2. Данные наблюдений и оценочные нечеткие числа (июль, глубина 10 м).

8/10 8/20

Месяц/день

8/31

Рис. 5.3. Данные наблюдений й прогнозируемые нечеткие числа (август, глубина 10 м).

В заключение сделана попытка применить правила типа «если А, то В», свойственные экспертным системам, к моделированию сложных крупных систем [10]. Это метод моделирования с использованием знаний экспертов. Метод, основанный на правилах «если А, то 5», по-видимому, в будущем окажется полезным при моделировании сложных явлений, которые невозможно представить только математическими моделями.

5.3. МНОГОЦЕЛЕВАЯ ОЦЕНКА

5.3.1. НЕЧЕТКАЯ ОЦЕНКА С ПОМОЩЬЮ АИП (ИЕРАРХИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ) [И]

Эта оценка позволяет уточнить стоимость объекта на основе некоторых стоимостных критериев. Поэтому для такой Оценки необходимо иметь измеренные значения всех критериев оценки объекта (функции, мощность, распространение и т.п.). Общая Оценка получается из стоимостных значений для многих критериев, поэтому необходимо также установить веса каждого критерия оценки. Объект оценки будем называть альтернативным проектом.

Пусть заданы п критериев оценки Xj, Xj, х„; каждому критерию лицо, принимающее решение, приписывает веса W = (wj, wj, w„). При этом наиболее предпочтительный альтернативный проект у* можно представить следующим образом:

>*= {jj.lmax w,.-/j(x..)}, j .= 1

где/j(Xj)-значение i-ro критерия оценки>го проекта. Кроме

того, нормируем веса так, чтобы Проблема здесь

состоит й определении весов W = (w, Wj, »v„). Одним из методов определения является метод собственных векторов, предложенный 1977 г. Саати. Он систематизировал процедуру от иерархизации проблемы до окончательного решения в виде аналитического иерархического процесса (АИП).

Веса W в классическом АИП нормализуются так, чтобы их сумма была равна 1. Здесь будем считать W мерой возможности в пространстве X. Условия, которым должны удовлетворять W, состоят в следующем: О Wj 1, I = 1, и. Кроме того, существует по крайней мере одно i,

такое что = 1. Условие JW; = 1 не обязательно.

Лицу, принимающему решения, задается вопрос: «Насколько важен критерий оценки с по сравнению с критерием оценки dl» В соответстврш с ответом получается числовое значение Ocd (табл. 5.2). Полученная матрица ia\ размером пп приведена в табл. 5.3, где предполагается, что асе = 1, = 1/алс- Пусть М - матрица [а,]. Проблема заключается в нахождении максимального собственного значения Х,„ах матрицы М и собственного вектора W, соответствующего Х,„ах, из следующего векторного уравнения первого порядка:

(M-X,I)W = 0

при условии, что max W; = I. Решение проблемы легко

Таблица 5.2. Значения ал, соответствующие словесному представлению

(Критерий оценки с по сравнению с критерием оценки d) -> (оы)

Одинаково важны 1

Почти важен 3

Достаточно важен -* 5

Очень важен 7

Крайне важен 9

Используются как 2, 4, 6, 8 промежуточные значения

а„ =1 = 1/ал:

ItpuMmehue в Suinece.

Табли10 S3. Матрица nortdpHbfo GpdBbeifttft аа

получить с помощью Метода, исйоЛьзуёМого при доказа тельстве теоремы Перона-Фробеииуса.

Веса в АИП нормализуются так, чтобы lix суМма была равна 1. В этом смысле суммируемая мера имеет то же значение, что и вероятностная мера. В данном Методе используются мера возможности и мера необходимости, представляющие собой несуммируемые меры в теории нечетких систем. Вследствие суммируемости весов в классическом АИП при оценке не учитываются альтернативность и комплементарность, а данный метод позволяет указывать лицу, принимающему решение, два решения с учетом этих двух свойств. Альтернативность и комплементарность имеют тот же смысл, что замещаемость и дополнительность. Первое означает, что возможен выбор наилучшего среди нескольких критериев оценки, а второе-выбор критерия, по возможности не имеющего недостатков. Соответствующие случаи назьгеаются нахождением максимаксного и макси-мини ого критериев. Использование несуммируемых весов позволяет смягчить условия независимости параметров оценки по сравнению со случаем суммируемых весов, а также сгладить явление нарушения порядка, вызванное добавлением сходных критериев оценки.

5.3.2. ОЦЕНКА С ПОМОЩЬЮ НЕСУММИРУЕМЫХ ВЕСОВ

К несуммируемым мерам относится Bel-мера, предложенная Демпстером и Шафером [12]. Bel-мера означает степень достоверности того, что элемент хеХ принадлежит множеству А. Используя функцию на множестве т:!" -* [О, 1]> удовлетворяющую условию

т(ф) = 0, т(А)=1

Глава 3

й называемук} также базовой вероятностью, Bel-меру можно представить следующим образом:

Ы(А)= I mm, Acz](.

в с 4

14ножество А, такое что т {А) > О, называется фокусирую-цщц элемедтоМ- Bel-ivepa опредеодстся с помощью базовой вероятности, цо в отлрнце от вероятрости она позродяет представить незнание. При Аф X Ве1(А) = 0, а при А X ддЦ4) = 1. В этом случае Pel обозначает полное незнание.

Используя базовую вероятность, можно тзкже представить следующим образом Р1-меру:

Р1{А)= т(В),

ВПАФ0

Bel-мера несумгушруема, и Р1-мера также несумгушруема. Между Bel- и Р1-мерами существует следующее соотношение:

Р1И)= 1-Ве1(4)- (5-16)

Из других несуммируемь1х мер отметим меру возможности П, предложенную Заде. Она определяется следующим образом:

П(Л)=1, П(ф) = 0,

V, ЩАиВ] = щах{ЩА), ЩВ)).

Кроме того, парой к П служит мера необходимости N, та$сже являющаяся несуммируемой мерой. Оца определяется следующим образом:

iY(X) = i, ]У(ф) = 1,

УЛ, уд N (А гл В) = rmn{N (А), N(B)).

Поскольку

JV()= 1 - П(4),

то из П можно определить N. Последнее соотношение ацалогично формуле (5.16). Оно справедливо как для Bel и Р1, так и для П и N. Это соотношение утверждает, что фокусирующие элементы А, 2->t образуют вложение

Bel (Л п 5) = min (Bel {А), Bel [В)).