Следовательно,

[О, 1Г-= {/!/: [О, 1]-[0, 1]}. (2.60)

Затем можно вновь говорить о том, что дать оценку [О, l]" " мы не можем и поэтому лучше ввести нечеткое представление и т.д., в общем случае предлагается нечеткое множество п рода, которое определяется следующим образом

[О. 1]...[0, 1]

т:Х Ц (2.61)

Кроме того, предлагается понятие вероятностного множества, в определении которого в оценочные значения вносятся вероятностные элементы. Другими словами, это метод, при котором в качестве т(х) указывают распределение вероятностей в [О, 1] так. чго в случае если m(x) имеет значение, вероятность равна 0,8, в других случаях-0,7 (рис. 2.13. г).

Существует мнение, что не обязательно использовать числовые оценки. Предложено понятие нечеткого множества, определенного на лингвистических переменных (рис. 2.\Ъ,д). По сути оценки как результат мышления человека-это слова (например: «осталась какая-то неудовлетворенность, но в целом все нормально») и не так просто выразить оценку в числовом виде. Но почему бы не использовать такую словесную оценку непосредственно. Этот метод полезен для представления и приобретения знаний при построении экспертных систем и при введении знаний экспертов в базы данных.

Но, даже говоря о словесных оценках, мы все равно должны прийти к некоторой упорядоченной структуре этих оценок, оставаясь в четком мире. Поэтому предложен ряд методов представления оценок в виде упорядоченных множеств (таких, как нечеткие множества на булевых переменных, нечеткие множества на решетках, нечеткие множества L-типа, нечеткие множества на полуупорядоченном множестве и т. п.).

Однако с практической точки зрения (в частности, для промышленного применения) почти все нечеткие множества в составе механических систем, как правило, представляются как нечеткие множества первого рода. Даже если до этапа приобретения знаний оценки представляются словами, проектировщики систем чаще всего интерпретируют такую инфор-

мацию с помощью функции принадлежности со значениями в [О, 1] и обрабатывают ее. В данной книге будут рассматриваться преимущественно нечеткие множества первого рода со значениями в [О, 1]. «Преимущественное» представление в виде оценки в [О, 1] в большинстве случаев означает, что на уровне аппаратных средств используется режим тока [0,5 мкА] или режим напряжения [0,5 В], а на уровне программного обеспечения с целью повышения быстродействия вычислений используются целые числа от О до 1000 либо 16 или 256 дискретных значений, упакованные в 4 или 8 бит.

2.5. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

Так же как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в случае нечетких множеств существует нечеткая логика-основа для операций, рассмотренных в разд. 2.3. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, образуемые операциями НЕ-И-ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ. С их помощью можно записать все другие логические операции. Но в случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций, поэтому нет смысла говорить о записи всех операций с помощью некоторого числа базовых операций. Учитывая это, ограничимся наиболее важными операциями.

Для начала рассмотрим расширения НЕ, И, ИЛИ до нечетких операций. Назовем эти расширения соответственно нечетким отрицанием, /-нормой и -нормой. В нечетком мире число состояний неограниченно велико, поэтому невозможно описать эти операции с помощью таблицы истинности, как в случае двузначной логики. Поясним эти операции, используя функции и несколько аксиом, а затем представим образы этих операций с помощью графиков.

Нечеткое отрицание аналог четкой операции НЕ-представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком смысле оценки [О, 1], дающую в ответе оценку [О, 1]. Аксиоматическое определение записывается в виде

е:[0, ]]-[0, 1], (2.62)

N\. О© = 1, (2.63)

N2. (л:©)© = JC для Ул:б[0, 1] (далее это условие

опускается), (2.64)

Af3. Xl < Х2 ~* xf > xf.

(2.65)

Здесь аксиома N\ сохраняет свойство двузначного НЕ и означает, что «нечеткое отрицание О равно 1», другими словами, является граничным условием. Следующая аксиома N2 является правилом двойного отрицания, утверждающим, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке. Это достаточно сильное требование, но если его опустить, то будут несправедливы некоторые известные свойства, и в настоящее время это требование включают в набор аксиом нечеткого отрицания. Последняя аксиома N3-наиболее существенное требование понятия «отрицание»: «нечеткое отрицание инвертирует (в смысле строгого неравенства) последовательность оценок (т.е. меняет местами хорошие и плохие оценки)». Если отложить х на оси абсцисс, а лЭ-на оси ординат, то отрицание можно интерпретировать как монотонную строго убывающую функцию.

Все функции, удовлетворяющие аксиомам NI-N3, являются нечетким отрицанием. Типичная операция нечеткого отрицания - «вычитание из Ь>:

х=1-х (2.66)

С точки зрения нечетких множеств это соответствует понятию дополнительного нечеткого множества (формула (2.43)). Легко доказать, что выражение (2.66) удовлетворяет трем аксиомам:

N1. О© = 1 - О = I, (2.67)

N2. (х©)© = 1 - X© = 1 - (1 - X) = X, (2.68)

N3. I - х-монотонная строго убывающая функция.

Кроме того, очевидно, что при х = 0,5 (= не знаю) х® = 0,5, т.е. неизменно, в этом смысле 0,5 является центральным значением, и обычно х и х® принимают симметричные значения относительно 0,5. Как указано выше, операция «вычитание из Ь> является типичной операцией нечеткого отрицания, и с точки зрения практического применения нет особых возражений против того, чтобы в качестве нечеткого от,1Ицания использовалась именно эта операция.

Однако для более глубокого понимания сущности аксиом приведем несколько результатов, выводимых из аксиом N1-N3.

Результат 1. 19-0.

(2.69)

Этот результат получаем сразу, если подставим х = О в N2 а применим N1. Следовательно, использование (2.69) вместо N1, не имеет смысла, но заменив N1 на формулу (2.63) и (2.69), мы получим эквивалентную систему аксиом.

Результат 2. График х© с х по оси абсцисс, а х© по оси ординат симметричен относительно наклонной под 45° к линии, проведенной из начала координат. Это следует из того, что если существует точка (х, .х®), то существует точка (х®, jc©©) = (х©, х), и они расположены симметрично относительно линии с углом наклона 45°.

Результат 3. График х© является непрерывным монотонным строго убывающим. Доказательство непрерывности X достаточно сложно, поэтому мы его опустим.

Итак, как следует из сказанного выше, существует неограниченное число простых нечетких отрицаний (рис. 2.14). Еще раз отметим, что среди них на практике часто используют прямую линию (выражение (2.66)). Разработано несколько нечетких логических схем, реализующих эту операцию и слу-жанщх основным элементом нечетких компьютеров. Для их обозначения используют обозначение, указанное вверху на рис. 2.14.

Нечетким расширением И является /-норма (или триангу-лярная норма). В общем случае /-норма, так же как и рас-

0 0.5 1.0

Рис. 2.14. Нечеткие отрицания.

смотренная ниже 5-норма,-это понятия, изучаемые скорее математиками, чем инженерами, но их удобно использовать при обсуждении нечеткой логики; как схема ?-норма-это схема с двумя входами и одним выходом, как функция-это функция двух переменных. Известны 4 аксиомы /-нормы:

:[0, 1] x [О, 1]->[0, 1], (2.70)

Т\. xST 1 = х, .res О = О (для Ул:б[0, 1]-опускаем).

Т2. Т\ Т4.

Xi S (Xj ST лгз) = (xi .Г xj) xj,

(2.71)

(2.72)

(2.73) (2.74)

Аксиома Т\ справедлива также для четкого И (это граничные условия). Т2 и ТЗ-законы пересечения и объединения, на аппаратном уровне их можно интерпретировать в виде: «входные контакты равнозначны, нет необходимости их различать», «если проектировать трех- и более входовые элементы с помощью двухвходовых, то можно не различать порядок их объединения». Аксиома Т4 является требованием упорядоченности и гарантирует, что «введение третьей оценки не изменит порядок оценок». Типичной /-нормой является операция min или логическое произведение

x, .ТХ2 = х,1\х2. (2.75)

Оно соответствует понятию пересечения нечетких множеств, представленному формулой (2.18). Формула (2.75) практически удовлетворяет аксиомам ТI - 7"4, поэтому доказательство мы опустим. График данной операции см. на рис. 2.15.

Рассмотрим геометрический смысл обычной /-нормы в случае ее графического представления на рис. 2.15. Из аксиом Т\ и Т2 следует, что область определения хЭх, т.е. соответствующие значения, находится па сторонах единичного куба в плоскости (xj, х). Другими словами, из аксиомы Т1 следует, что на стороне - 1 единичного куба образуется линия х5Х2= х, на стороне = 0-линия в плоскости 1.x2 = 0. Кроме того, если использовать симметричность аксиомы Т2, то на стороне х = \ получается прямая линия х Х2 = х, а на стороне .г, = О-линия в плоскости xiT Х2 = Xj. Таким образом, значения лг] ,2 в четырех верщинах единичного куба являются также значениями четкой операции И (рис. 2.16). К тому же из

Рис. 2.15. Логическое произведе- Рис. 2.16. Граничные условия ние (х, Л Хг). обычной /-нормы.

Рис. 2.17. Часто используемые /-нормы, а-алгебраическое произведение .v,-.V2; б-граничное произведение xQx, в - драстическое произведение х, Д Xj.