С помощью функций принадлежности обеспечивают выбор решения, удовлетворяющего ЛПР, благодаря обновлерию базовых функций принадлежности в диалоге с ЛПР. Известны также примеры применения этих процедур [20-23].

Однако при формализации процесса принятия решений в условиях сложного зависимого мира в виде задачи многоцелевого планирования в общем случае предполагается, что чем более актуальна задача, тем больше в нее включается параметров. Значения подобных параметров устанавливались специалистами, причастными к формализации задачи, на основе собственного опыта или субъективными методами. Очевидно, что этого недостаточно для аппроксимации реальных систем. Для более адекватного представления соображений специалистов о параметрах задачи многоцелевого планирования лучше формализовать ее, считая параметры нечеткими множествами, чем находить им некоторые значения одним из известных методов. Можно надеяться, что это позволит точнее аппроксимировать реальные системы. С этой точки зрения для случаев, когда коэффициенты целевых функций и ограничиваюцдих условий выражены трапецеидальными нечеткими числами, Танака [24-26] предложил получать решения с учетом нечеткости коэффициентов методами линейного программирования. Орловский [27] показал, что задачи многоцелевого нелинейного планирования с нечеткими параметрами можно преобразовать в обычные задачи многоцелевого нелинейного планирования, следуя принципу расширения и получая при этом решения, для которых мера разборчивости ЛПР выше некоторого уровня.

Таким образом, наряду с методами принятия решений в режиме диалога, которые позволяют получать решения задач многоцелевого планирования с нечеткими параметрами, удовлетворяющие ЛПР и учитывающие нечеткости суждений специалистов, для случаев, когда о целевых функциях ЛПР имеет поверхностное представление, а также для случаев нелинейных, линейных и дробных линейных задач предлагаются методы нечеткого соответствия требованиям в режиме диалога для того, чтобы получить решение, удовлетворяющее ЛПР с учетом нечеткости суждений самого ЛПР [31-33]. Задачи многоцелевого планирования с нечеткими параметрами Люхандьюла [34] рассматривал как задачи с коэффициентами, представляющими возможности.

В кратком введении нельзя представить все подобные исследования, поэтому ниже остановимся только на расширении решений задач многоцелевого планирования на случай нечетких параметров, и в частности на методе нечеткого соответствия требованиям в режиме диалога, который одновременно учитывает нечеткости суждений специалистов о такой задаче и нечеткие цели ЛПР.

5.4.2. ПАЛЛИАТИВНОЕ И а-ПАЛЛИАТИВНОЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

В общем случае задачу многоцелевого планирования (МЦП) определим как задачу оптимизации в некотором смысле нескольких взаимно противоречащих целевых функций при заданных ограничениях. Формально ее можно рассматривать как следующую задачу минимизации векторов:

minf(x) = {f,(x), Мх),...,Мх))

при условии, что хеХ = {xeE"\gj{x) < О, / = 1, т), где х-и-мерный вектор переменных,(х), /j (х) - к взаимно противоречащих целевых функций, gi{x),д„,(х)--т ограничивающих функций, Z-область ограничения.

В МЦП целевые функции являются векторами, поэтому вместо традиционного решения, оптимизирующего скалярные целевые функции, определим паллиативное оптимальное решение как решение, при котором для улучшения значения определенной целевой функции приходится ухудшать значение по крайней мере одной из остальных целевых функций.

Определение 5.1. Паллиативное оптимальное решение

Назовем х* паллиативным оптимальным решением, если для х*еХ не существует хеХ, такое что /(х)</(х*) и fix) #/(х*).

Однако в известном МЦП нечеткости, обусловленные оценкой специалистов, причастных к постановке задачи, находят отражение в отдельных целевых функциях и параметрах ограничивающих условий. Более строгая формализация задачи возможна в случае следующей формулировки задач нечеткого многоцелевого планирования (НМЦП) с нечеткими параметрами:

min/(x, а) =/, (х, а,), /(х, а), ...,А{х, а,})

при условии, что хбХ(Ь) = {хеЕ\д{х, dj) О, 7 = 1,т},

где Sj, Fy-векторы нечетких чисел, входящих соответственно в г-ю целевую функцию и у-е ограничивающее условие. Векторы соответствующих функций принадлежности для удобства будем обозначать как {а), [iWj{bj).

Параметры, входящие в целевые функщда и ограничивающие условия НМЦП, представляются в виде нечетких чисел, поэтому применить понятие паллиативного оптимального рещения, определенного для существующего МЦП, невозможно. Для этой цели введем множество а-уровня как множество значений функций принадлежности всех векторов нечетких чисел больших а, которое обозначим следующим образом;

L(а) = {(а, IРЗ-.(а,.) а, рв-(bj) > а, i=\,...,k, 7= 1, т}.

Если зафиксировать а на некотором допустимом уровне, то параметры, входящие в целевые функции и ограничивающие условия, будут иметь некоторый допуск, зависящий от а. При этом задачу НМЦП можно будет сформулировать как следующую задачу четкого а-многоцелевого планирования (а-МцП):

min/(x, а) = (f, {X. а,), /(х, а), -JAx. а,)) при условии, что

xeX{b)={xeE4gj{x, bj)0, j=l,...,m}, (а, Ь)еЦа).

Таким образом, путем явного расширения понятия паллиативного оптимального решения можно определить а-паллиативное оптимальное решение для а-МцП, учитывающего нечеткости, входящие в задачу.

Определение 5.2. а-паллиативное оптимальное решение Назовем х*еХ (Ь*) а-паллиативным оптимальным решением, а (а*, й*)-оптимальными коэффициентами а-уровня, если для а-МЦП не существуют хеХф), {а. Ь)еЬ{а), такие что

fix. а) </(х*, а*) и fix, а) f{x*, а).

Предложено несколько диалоговых методов для выводов о решении, удовлетворяющем ЛПР и учитывающем нечеткости, входящие в задачу. Такое решение выбирается среди множества а-паллиативных решений путем обновления значений а и целевых функций в диалоге в ЛПР [28-30].

Однако если еще учитывать и нечеткости суждений человека, то приходится считаться с тем, что ЛПР имеет нечеткое представление о каждой из целевых функций а-МЦП. Например, для задач минимизации ЛПР допускает существование нечеткого минимума: «желательно, чтобы целевая функция /; большей частью была меньше А-». Подобную нечеткую постановку цели можно представить количественно за счет субъективного определения ЛПР монотонно убывающей функции принадлежности Hi(/j(x, Д;)) для целевой функции /(. Нечеткий максимум, который ЛПР для задачи максимизации представляет в виде «желательно, чтобы целевая функция fi большей частью бьша больше В-», можно определить с помощью монотонно возрастающей функции принадлежности pj Vii, а,)) для целевой функции/;. В самом общем случае при нечетком подходе к постановке цели ЛПР можно определить нечеткое равенство «желательно, чтобы целевая функция/; большей частью была равна с,.». Подобное обобщенное а-МЦП (О а-МЦП) можно представить следующим образом [31]:

нечеткий mm/;.(x, а,), ге/i,

нечеткий тах/(х. а, ih

нечеткое equal/-(х, а,), iel,

при условии, что xeXib), (а, й)бЬ(а),

где Ji 0/2/3 = {1, 2, к}.

Для задач с целевыми функциями типа нечеткого равенства вместо а-паллиативного оптимального решения на основе отношений неравенства целевых функций можно определить следующее М-а-паллиативное оптимальное решение на основе неравенства функций принадлежности. Определение 5.3. М-а-паллиативное оптимальное решение Назовем х*еХ(6*) М-а-паллиативным оптимальным решением, а (а*, **)eL(а)-соответствующими оптимальными коэффшщентами а-уровня, если для G-a-МЦП не существуют хеХ(Ь), (а, Ь)еЬ(а), такие что ц(/(х, а))>

>H(f(x*, а*)) и n(f(x, a))#n(f(x*, а*)). При этом

5.4.3. ДИАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ НЕЧЕТКОГО СООТВЕТСТВИЯ ТРЕБОВАНИЯМ

Если ЛПР субъективно определяет функции принадлежности для всех целевых функций, то задачу принятия решений для нечеткого многоцелевого планирования можно определить следующим образом:

шах Рв (11 (/(•«. а), а)

при условии, что (х, а, Ь)еР(а), ае[0, 1], где рд ()-объединенная функция, отражающая структуру разборчивости ЛПР, а Р (а)-множество оптимальных коэффициентов а-уровня, соответствующих М-а-паллиативным оптимальным решениям для G-a-МЦП. Если можно явно идентифицировать рд(), эта задача превращается в обычную задачу планирования с одной целевой функцией. Однако в общем случае идентификация рд() чрезвычайно сложна, поэтому необходимо находить решение, удовлетворяющее ЛПР, в диалоге с ним.

Как следует из определения, множество М-а-паллиатив-ных оптимальных решений является обычно неограниченным, поэтому необходимо извлекать из него решение, удовлетворяющее ЛПР, на основе какого-либо субъективного мнения ЛПР. С этой целью определим М-а-паллиативное оптимальное решение, являющееся кандидатом в решение, удовлетворяющее ЛПР, близкое в смысле минимакса к стандартному значению принадлежности, установленному ЛПР, как рещение следующей расширенной задачи поиска минимакса [31]:

min max {Д,. - р,.(/;.(х, а)) -Ь р (Д; - р,(/;(х, а,)))},

хеХф) \siik i=l

{а.Ь)еЦа)

где р-достаточно малое положительное число.

Если М-а-паллиативное рещение, полученное как решение расширенной задачи поиска минимакса, не отвечает требованиям ЛПР, то ЛПР обновляет по своему желанию стандартное значение принадлежности Д,- и значение а.

рассматривая при этом в качестве дополнительной информации компромиссные отношения между всеми функциями принадлежности в известном М-а-паллиативном оптимальном решении и компромиссные отношения между а и функциями принадлежности. К счастью, информация о подобных компромиссных отношениях легко может быть получена с помощью множителей Лагранжа для ограничивающих условий расширенной задачи поиска минимакса [31].

На основе приведенных выше рассуждений можно построить следующий диалоговый алгоритм для получения решения, отвечающего требованиям ЛПР и гарантирующего М-а-паллиативную оптимальность [31-33]. Ниже шаги, отмеченные звездочкой, выполняются в диалоге с ЛПР.

Шаг 1. Для а = О, 1 получаем максимальные и минимальные значения всех целевых функций в заданной области ограничения.

Шаг 2*. ЛПР субъективно определяет все функции принадлежности с учетом максимальных и минимальных значений всех целевых функций.

Шаг 3*. ЛПР устанавливает начальное значение а(0 < а < < 1) и начальное стандартное значение принадлежности, равное 1.

Шаг 4. Для установленных значений а и стандартного значения принадлежности решаем расщиренную задачу поиска минимакса, получая соответствующие М-а-палли-ативные оптимальные решения и компромиссные отношения между всеми функциями принадлежности и между а и функциями принадлежности.

Шаг 5. Если полученное М-а-паллиативное оптимальное решение и значение а отвечают требованиям ЛПР, то алгоритм завершается. В противном случае обновляются стандартное значение принадлежности и значения а с учетом информации о компромиссных отношениях между текупщми функциям принадлежности, и делается возврат к шагу 4.

5.4.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выше мы кратко описали диалоговые методы нечеткого соответствия требованиям, предназначенные для выбора решения, отвечающего требованиям ЛПР, среди множества М-а-паллиативных оптимальных решений с учетом нечеткой постановки целей ЛПР. Этот выбор вьшолняется после того.