произойдет замена значений в функции setq, и соответствующие нечеткое множество и нечеткое отношение будут выданы на экран. В системе muLisp-86 все обозначения строчными буквами превращаются в обозначения прописными буквами.

В данной системе как частные случаи нечетких множеств и нечетких отношений можно представить традиционные множества и отношения, нечеткие множества п рода и нечеткие множества т уровня в случае вложения скобок { }, нечеткие множества Ьтипа в случае группировки оценок, а также нечеткие множества в случае комбинации всех подобных обозначений [29].

Пример 2. Операции над нечеткими множествами. Выполнив операции в примере I, мы введем переменные FI и F2, значения которых суть нечеткие множества. Поэтому для получения их объединения и пересечения запишем

-♦(union F1 F2) ; объединение множеств:

{0.1/А, 0.7/В, 0.3/С, 0.4/D} операция оценки-шах;

-> (intersection F1 F2) ; пересечение множеств: операция

{0.2/В, 0.2/С}

Оценки - min.

Начиная от символа ; и до конца строки идет комментарий.

Аналогичные операции можно выполнить для нечетких отношений. Выполнив пример 1, мы введем в R\ ъ R2 нечеткие отношения, поэтому запишем

(union R1 R2)

{0.3/<А 1>, 0.9/<В, 2>, 0.8/<С, 3>, 1/<D, 4>} -> (intersection R1 R2) {0.5/<В, 2>, 0.1/<С, 3>}

Кроме приведенных в примере 2 функций предусмотрено много других встроенных функций. К ним относятся следующие десять типов функций: 1) функции обработки нечетких множеств (7 функций); 2) функции обработки нечетких отношений (II); 3) функции оценок (5); 4) функции обработки элементов (4); 5) функции предикатов (5); 6) функции сравнения (10); 7) функции преобразования типов (7); 8) функции ввода/вывода (6); 9) вспомогательные функщш обработки нечетких множеств (б); 10) другие функции (5).

Пример 3. Вычисления по принципу расширения. Функции Лиспа можно применять к нечетким множествам путем добавления перед ними знака &, а вычисления выполняются по принципу расширения [32].

Сложение и умножение обычных чисел на Лиспе записывается в виде

-(+ 3 4) ; 3-1-4 7

(X 3 4) ; 3 X 4

Для вычислений с нечеткими множествами (нечеткими числами) прежде всего определим нечеткие числа

-(setq about -3 {0.3/2, 1/3, 0.5/4}) ; около 3

(0.3/2, 1/3, 0.5/4}

(setq about -4 (0.4/3, 1/4, 0.6/5}) ; около 4 (0.4/3, 1/4, 0.6/5} затем можно вводить

-{& + about - 3 about - 4) ; около 3 + около 4 (0.3/5, 0.4/6, 1/7, 0.6/8, 0.5/9}

-(& X about - 3 about - 4) ; около 3 х около 4 (0..3/6, 0.3/8, 0.3/10, 1/12, 0.6/15, 0.6/15, 0.5/16, 0.5/20}.

Пример 4. Применение для нечетких выводов. Вывод по нечеткому правилу и нечеткому факту:

Правило: есть х большое, то у маленькое

Факт: X очень большое (6.16)

Заключение: j?

Заде предложил формализовать подобные задачи следующим образом. Прежде всего рассмотрим типовую форму указанного выше вывода.

Правило: есть х есть Р, то у есть О gKTCTb А Заключение: у есть В

(6.17)

Здесь Р и Л-нечеткие множества в I/, а Q и В-нечеткие множества в V. Правило преобразуем в следующее нечеткое отнощение в I/ х К:

К{~Р X F)0(1/ X Q),

(6.18)

где -дополнительное множество, х -прямое произведение, ©-граничная сумма.

При этом нечеткое множество В для у можно определить следующим образом:

B==A%R= {max (p (и) Д р„ (и, v))lv -.veV).

(6.19)

Здесь Д обозначает операцию взятия минимума. Эта операция называется образом нечеткого множества А по нечеткому отношению R. Она является частным случаем композиции отношений (композиционным правилом вывода).

Приведенный вьиие вывод (выражение (6.16)) можно записать следующим образом.

Прежде всего определим полные пространства U w. V:

(setq и {1, 2, 3, 4, 5}) (1, 2, 3, 4, 5} -»(setq V {1, 2, 3, 4, 5}) {1, 2, 3, 4, 5}

Затем определим нечеткие множества «маленькое» и «большое»:

->(setq small {1/1, 0.7/2, 0.1/3}) {(1/1, 0.7/2, 0.1/3} ->(setq large {1/5, 0.7/4, 0.1/3}) {0.1/3, 0.7/4, 1/5}

Используя арифметические правила (6.18), определим функцию imply-arithmetic, которая строит из правила нечеткое отношение. Для определения функции применим функцию Лиспа defun:

• (defun imply-arithmetic (а b)

; если а, то Ъ

(bsum (ср (adif U а) V) (ср U Ь))) IMPLY-ARITHMETIC

В этом определении bsum, ср, adif-функции, которые в дан-дой системе реализуют соответственно граничную сумму, прямое (картезианское) произведение и абсолютную разность. Таким образом можно определять функции, значениями которых являются нечеткие отношения. Используя эту функцию, из нечетких множеств small и large построим нечеткое отношение, соответствующее правилу «если х большое, то у маленькое».

(setq Ra (imply-arithmetic large small)

{1/<1, 1>, 1/<1, 2>, 1/<1, 3>, 1/<1, 4>, 1/<1, 5>, l/<2,1>, l/<2,2>, l/<2,3>, l/<2,4>, l/<2, S>, l/<3, 1>, l/<3, 2>, l/<3, 3>, 0.9/<3, 4>, 0.9/<3, 5>, l/<4, 1>, l/<4, 2>, 0.4/<4, 3>, 0.3/<4, 4>, 0.3/<4, 5>, l/<5, 1>, 0.7/<5, 2>, 0.1/<5, 3>}.

Теперь определим функцию, соответствующую понятию «очень» в факте «очень большое». Ее можно представить как вторую степень любого множества, т.е.

(defun very (F)

(gfuncall expt F 2))

VERY

Функция gfuncall-одна из универсальных функций (функция, аргументом которой является функция). Она возвращает в качестве значения нечеткое множество, получаемое в результате применения степенной функции к нечеткому множеству. Функция expt (возведение в степень: число 2 указывает возведение в квадрат) применяется для получения степени нечеткого множества F. Если эту функцию применить к large, то получим

-> (very, large)

{0.01/3, 0.49/4, 1/5}

Следовательно, если для определенного выше нечеткого отношения применить функцию image (образ), то получим

-(iinagejvery large) Ra) {1/1, 0.2/2, 0.4/3, 0.3/4, 0.3/5}

соответствует заключению вывода.

Выше мы рассмотрели систему обработки нечетких множеств на Лиспе, которая позволяет оперировать с нечеткими множествами, причем методы их обработки детерминированные (не являются нечеткими). В этом смысле эту систему можно назвать «нечетким Лиспом». Ее следовало бы назвать базовой системой (или средством) для построения разнообразных «систем нечеткого...», содержащих нечеткий Лисп. На практике с помощью данной системы уже спроектированы нечеткая продукционная система [33] и нечеткий Пролог [34].

ЛИТЕРАТУРА

1. Zadeh L. А. Outline of new approach to the analysis of complex systems and decision process IEEE Trans, on SMC- 1973.-Vol. 3, N l.-P. 28-44.

2. Zadeh L. A. Calculus of fuzzy restrictions In "Fuzzy sets and its application to cognitive and decision processes" ed. by Zadeh L. A.-Academic Press, 1975.-P. 1-39.

3. Zadeh L. A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning. Part 1, 2, 3 Information Sciences.-1975. -N. 8.-P. 199-249; N 8.-P. 301-357; N 9.-P. 43-80.

4. Mamdani E. A. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic synthesis IEEE Trans. Computers. 1977.-Vol. C26, N 12,-P. 1182-1191.

5. Mizumoto M., Zimmermann H.J. Comparison of fuzzy reasoning methods Fussy Sets and Systems.- 1982.-Vol. 8, N 3.-P. 253-283.

6. Fukami S., Mizumoto M., Tanaka K. Some considerations on fuzzy conditional inference Fuzzy Sets and Systems.-1980.-Vol. 4, N 3.-P. 243-273.

7. Yamakawa Т., Sasaki K. Fuzzu memory device Proc. 2nd IFSA Songress.- Tokyo, 6-1987.

8. Yamakawa T. An approach to a fuzzy computer hardware system Proc. 2nd International Conference on Artifical Intelligence. Marseille, France, 12-1986.-P. 1-22.

9. Yamakawa T. High speed fuzzy controller hardware system Proc. 2nd Fuzzy System Symposium.-Tokyo, Japan, 6-1986.-P. 122-i 30.

10. Ямакава Т. Патенты NN 60-199225, 60-199229, 60-199230, 60-1999231, 61-20428, 61-20429, 61-20430, 61-65525, 61-65526, 61-141085, 61-141214, Европейские патенты NN 0162225А1, 0168004А2, патенты США NN 4694418, 4716540.

11. Мидзумото М. Нечеткая логика и нечеткие выводы Сури кагаку.-1987.-Т. 284. N 2.-С. 10-18.

12. Yamakawa Т., Miki Т., Ueno F. Basic fuzzy logic circuit formed b>

using p-MOS current mirror circuit Trans. lECE of Japan, Vol. J67-C, N 12. P. 1022-1029.

13. Yamakawa Т., Miki T. The current mode fuzzy logic integrated circuits fabricated by the standart CMOS process Trans. IEEE on Computers.-Vol. C35, N 2.-P. 161-165.

14. Yamakawa T. A. simple fuzzy computer hardware system employing MIN & MAX operations-A challenge to 6th generation computer Procs. 2nd IFSA Congress.-Tokyo, Japan, 7-1987.

15. Введение в нечеткие системы / Под ред. Терано Т., Асаи К., Сугэно М.-Токио: Омся, 1986.

16. Мумано. Использование нечетких множеств в компьютерах Computer today.-1988.-N 25.-P. 28-33.

17. Umano М. A fuzzy production system In "Fuzzy logic in knowledge engineering" ed. by Prade H., Negoita C.V.-Verlag TUV Rheinland, 1986.-P. 194-208.

18. Капай, Исидзука. Пролог-EFL: Пролог со встроенной нечеткой логикой Дзихо сери гаккай ромбунси.-1986.-Т. 27, N 4.-С. 411-416

19. Martin Т. Р., Baldwin J. F., Pilsworth В. W. The implementation of FPROLOG-A fuzzy Prolog interpreter Fuzzy Sets and Systems.-1987.-N 23.-P. 119-129.

20. Mukaidono M., Shen Z., Ding L. Fuzzy Prolog Preprint of 2nd IFSA Congress.-1987.-P. 452-455.

21. Yamakawa T. An approach to a fuzzy computer hardware systems Procs. of 2nd Int. Conf of AI.- 1986.

22. Toga! M., Waanabe. A VLSI implementation of fuzzy inference engine toward an expert systems on a chip Proc. of 2 nd Int. Conf of AI applications.- 1985.

23. Zadeh L. A. Out line of a new approach to the analysis of complex systems and decision process IEEE Trans, on SMC-Vol. 3, N 1.- 1973.

24. Zadeh L. A. PRUF - A meaningful representation language for natural language Int. Journal of Man-Machine Studies.- 1978.-N 10.

25. Мукаидоно M. Что такое нечеткий Пролог? Computer today.-1988.-N 25.-P. 4-46.

26. Мукаидоно М., Масудзава. Свойства резолюций в нечеткой логике Дэнси цусин гаккай ромбунси.- 1983.-Т. J66-D, N 7.

27. Shen Z., Ding L., Mikaidono М. Fuzzy resolution principle Proc. of 18th Int. symposium on multi-valued logic, IEEE, 1988.

28. Zadeh L.A. Fuzzy set Information and control.-1965.-N 8.-P. 338.

29. Умано M. Система обработки нечетких множеств на Лиспе Сб. тез. 3-го симпозиума по нечетким системам.-Токио, 1987.-С. 167-172.

0- Умано М., Кумэ. Описание системы обработки нечетких мно-