xl Д лгг =

аксиомы Т2 очевидно, что график симметричен относительно плоскости, образуемой наклонными х, = х.

Возникает вопрос: какие еще /-нормы можно построить кроме логического произведения по формуле (2.75)? С практической точки зрения важными операциями являются алгебраическое произведение х-х, граничное произведение xj О х2 и драстическое произведение xi Д Xj.

xi-x2=xix2, (2.76)

х,Ох2 = (х,+х2-1)V0, (2.77)

х2, если x, = 1,

x,, если х2 = 1, У-)

(О в других случаях. Соответствующие им операции над нечеткими множествами задаются формулами (2.48)-(2.50). Графики представлены на рис. 2.17. Из этих графиков видно, что справедливо соотнощение

О < xl А х2 < xl О х2 < xl х2 < x, Д х2. (2.79)

Помимо указанных можно создать бесконечное число других /-норм. Например, Янгер, Франк, Вебер, Швейцер и др. вывели формулы, задающие неограниченное число /-норм с одним вещественным параметром. Однако при любом способе создания /-нормы можно показать, что последняя непременно будет расположена между драсти-ческим и логическим произведениями. Первое - минимальное, а второе - максимальное среди всех /-норм.

Нечеткое расщирение ИЛИ-.?-норма называется также /-конормой, ее можно обсуждать вместе с /-нормой. Среди аксиом только граничное условие отличается от случая /-нормы, остальные аксиомы те же самые:

У:[О, I] x [О, 1][0, 1], (2.80)

51. хУ I = 1, хУО = х, (2.81)

52. х,ух2 =х2ух„ (2.82)

53. xl У (.х2 Ух) = (x, У .х2)У хз, (2.83)

54. x, х2 - xl Ухз хг хз. (2.84)

Типичной .9-нормой является логическая сумма, определяемая с помощью операции max:

(2.85)

Кроме нее существуют алгебраическая сумма х, + Х2, граничная сумма xj ф xj и драстическая сумма х, V х;.

Х\ Х- - Xl Хг XiX2, Х1фХг = (х1 + Х2)/\1

с xj, если xl = О,

XjVxjVi. еи 2 = 0, (1 в других случаях.

(2.86) (2.87)

(2.88)

Характеристики этих операций приведены на рис. 2.18, а-г.

»1 VIJ

Рис. 2.18. Типичные i-нормы.

а-логнческая сумма Jt, V х,; б-алгебраическая сумма х,+Х2; в-граничная сумма JC, фх; г-драстическая сумма х, Vjcj.

Как видно из этих рисунков,

Xi V -2 < X, + хг < x, © < x, V х2 1, (2.89)

т. е. порядок операций обратный, нежели в случае /-нормы.

Очевидно, что обычная .?-норма должна удовлетворять граничным условиям (рис. 2.19), аналогичным условиям в случае /-нормы. Кроме того, можно показать, что минимальная .9-норма-это логическая сумма, а максимальная .s-норма-драстическая сумма.

Возможны различные варианты нечеткого отрицания, /-нормы и .?-нормы, но среди всех операций удобнее всего выбрать такие, которые удовлетворяют следующим граничным условиям:

(л;, У Хг) = х Jcf, (2.90)

(jc,Jjc2)© = xpyxf. (2.91)

Для четких множеств эти условия соответствуют закону де Моргана, в нащем случае они называются нечетким законом де Моргана. Используя аксиомы нечеткого отрицания, /-нормы и 5-нормы, из одной из этих формул можно вывести другую, поэтому достаточно указывать только одну из них. Если справедлива формула (2.90) или (2.91) (а следовательно, и обе одновременно), то соответствующие /-норма и .?-норма называются взаимно дуальными на основе соответствующего нечеткого отрицания. Показано, что если нечеткое отрицание есть вычитание из 1, то взаимно дуальными являются логические произведение и сумма, алгебраические произве-

1+0=1

Рис. 2.19. Граничные условия обычной i-нормы.

дение и сумма, граничные произведение и сумма, драсти-ческие произведение и сумма. На практике обычно используют логические операции, а алгебраические и граничные операции используют время от времени. Драстические операции имеют непрерывные характеристики, но они важны в том смысле, что являются нижней границей /-нормы и верхней границей .?-нормы, хотя на практике они почти не используются.

Причины, по которым лучше использовать стандартные логические операции, состоят в том, что их физический смысл вполне очевиден, а система ([О, 1], <, 1 -•, Д, \/) с математической точки зрения имеет лучшие характеристики, чем полная псевдобулева алгебра. Не выполняется только закон комплементарности

.хД(1-х)>0, x\J{\-x)\, (2.92)

а все другие свойства, справедливые и в четкой логике, также справедливы (например, если использовать в качестве /-нормы алгебраическое произведение, то закон идемпотентности не выполняется и не образуется решетка). В четкой логике в формуле (2.92) всегда будет равенство, и такой закон комплементарности называют также законом противоречия или законом исключенного третьего. Закон противоречия гласит: «некоторое свойство и отрицание этого свойства одновременно несправедливы», а закон исключенного третьего «некоторое свойство и отрицание этого свойства охватывают все состояния, никакого промежуточного состояния нет». Эти законы специфичны для четкого мира двузначных оценок. В нечеткой логике, которая допускает также некоторые промежуточные оценки, можно считать вполне естественным то, что эти законы несправедливы.

В нечеткой логике важной является также операция нечеткой импликации, но о нечетких выводах речь пойдет в следующем разделе.

2.6. НЕЧЕТКИЕ ВЫВОДЫ

Нечеткие выводы, нечеткие или приближенные рассуждения (в последнее время в английской литературе чаще используют последний термин)-это наиболее важный метод в нечеткой логике. Выводы в четком искусственном интеллекте охватывали как частный случай все нечеткие выводы.

поэтому экспертные системы, построенные на четкой методологии искусстэенного интеллекта, можно считать частным случаем нечетких экспертных систем. Но и в нечетких экспертных системах, применяя на этапе исследований помимо правил четкие выводы с помощью фреймов или других методов, во многих случаях изучают также возможность их расширения до уровня нечетких выводов. Однако почти все реально работающие прикладные системы, активно использующие промежуточные нечеткие оценки, в это настоящее время либо системы, основанные на правилах, а именно нечетких продукционных правилах, либо реляционные системы, использующие нечеткие отношения. Работу и тех и других систе.м теоретически можно объяснять с единых позиций использования композиционных правил нечетких выводов, но внешне реальные технические алгоритмы выводов в каждом случае имеют существенные отличия, поэтому ниже рассмотрим их по отдельности.

Поясним на простом примере, как выполняются нечеткие выводы по правилам. Пусть существуют знания эксперта о том. что необходимо открыть спускной клапан, если уровень воды поднимается. Это знание можно представить с помощью нечеткого продукционного правила типа «если ... то ...» следующим образом:

Если уровень воды высокий, то открыть клапан. (2.93)

Здесь выражение, стоящее после еслн, называют антецедентом, предпосылкой, условием и т.п., а выражение, стоящее после то,-заключением, операцией и т.п. В нашем случае важно описать предпосылку и заключение в виде нечеткого отношения. Другими словами, в исходное выражение не попали данные о том, каков уровень воды в метрах, на какой угол поворачивается клапан. Однако сам эксперт это знает. Например, если мы спросим у него: «Высокий уровень воды-это сколько метров?»-то получим ответ: «Примерно 2 м». При этом интерпретация с помощью нечеткого множества, например

ВЫСОКИЙ = 0,1/1,5 м -ь 0,3/1,6 м + 0,7/1,7 м + 0,8/1,8 м ---1- 0,9/1,9 м + 1,0/2,0 м + 1,0/2,1 м + 1,0/2,2 м

(2.94)

гораздо более точно отражает мысль эксперта, нежели строгая интерпретация его слов: «До 1,9 м еще невысокий уровень, а начиная с 2,0 м-высокий». Аналогично угол поворота клапана, если принять 90° за полное открытие, можно описать с помощью следующей функции принадлежности:

ОТКРЫТЬ = 0,1/30° -I- 0,2/40° + 0,3/50° -ь 0,5/60° +

+ 0,8/70° + 1,0/80° + 1,0/90°. (2.95)

Человек, проектирующий данную систему, создает из правил в словесном представлении типа (2.93) конкретные функции принадлежности типа (2.94), (2.95). Обычно он следует следующему методу:

1) определяет значения методом вопросов и ответов или становится учеником эксперта;

2) поручает эксперту выполнение операции и воссоздает ситуацию из хронометрированных данных;

3) корректирует значения функции, получая наилучшие результаты из экспериментов, имитирующих данную ситуацию.

Если получить функции принадлежности, следуя указанному выше методу, то можно запомнить их в ЭВМ как базу знаний. Например, формулы (2.94) и (2.95) можно запомнить как информацию в одномерном массиве, индексы в котором соответствуют элементам полного пространства. Без ограничения общности будем считать, что нечеткие продукционные правила типа (2.93) накапливаются в базе знаний. Пусть также при наблюдении текущего уровня воды обнаружено, что

Уровень воды довольно высокий.

(2.96)

Если наблюдения уровня воды возможны с большей точностью, то можно получить точную информацию, например: «уровень воды 1,7 м». Однако на практике нередки случаи, когда из-за особенностей промышленной системы информацию с достаточно хорошей точностью получить не удается (при этом учитывается погрешность измерения, которая меняет в ту или иную сторону значение 1,7 м) либо нет возможности установить устройство измерения уровня воды и, например, этот уровень вынуждены оценивать, постукивая по емкости и реагируя на звук. В подобных случаях удобно

4-6830