принимать за информацию наблюдение (2.96), представленное с помощью нечеткого множества следующим образом;

Довольно ВЫСОКИЙ = 0,5/1,6 м + 1,0/1,7 м + + 0,8/1,8 м + 0,2/1,9 м.

(2.97)

Какую же операцию нужно проделать в такой ситуации? Другими словами, поставим задачу: определить нечто, отмеченное знаком «?» в формуле

Если ВЫСОКИЙ, то ОТКРЫТЬ Довольно ВЫСОКИЙ

(2.98)

Разумеется, предпосылка ВЫСОКИЙ и наблюдение «довольно ВЫСОКИЙ» образуются путем сопоставления. В четкой логике сопоставление не имеет смысла, поэтому никакого логического вывода сделать нельзя. Однако мы говорим о человеке, а он, получив путем приближенного сопоставления вывод

Если ВЫСОКИЙ, то ОТКРЫТЬ Довольно ВЫСОКИЙ

Слегка ОТКРЫТЬ

(2.99)

должен слегка приоткрыть клапан. По сути он выполнил нечеткий вывод (точнее, провел приближенные рассуждения).

Если говорить о мышлении человека на лингвистическом уровне, то формула (2.99) представляет классический пример нечеткого вывода, но какие же вычисления нужно проделать в программе или внутри специальной микросхемы нечеткого вывода, где встроены функции принадлежности? Существует более ста методов преобразования нечетких выводов на лингвистическом уровне в вычисления, но если ограничиться только методом, наиболее часто используемым на практике, то все объяснения можно привести с помощью рис. 2.20. Здесь полное пространство предпосылок-уровни воды, а полное пространство заключений-углы работы клапана. Обозначим их соответственно через X и Y. Используя формулы (2.94) и (2.95), нечеткое продукционное правило (2.93) можно графически изобразить гак, как на рис. 2.20, а (данные

между точками соответствующим образом интерполированы и показаны непрерывной линией). Кроме того, позаботимся об упрощении рассуждений и обозначим через А нечеткое множество ВЫСОКИЙ в предпосылке X и через В нечеткое множество ОТКРЫТЬ в заключении Y. Нечеткое множество «довольно ВЫСОКИЙ» в данных наблюдения X (сокращенно А) из формулы (2.97) можно представить так, как на рис. 2.20,(5. На рис. 2.20, в графически изображен

Нечеткое продукшла/шое правшю

Если. ВЫтКЙ то ОТКРЫТЬ

О 1,5 гАЫ)

Данные наблюдения \овольно ВЫСОШ

ш{х)

МКРЫТЬ-В о 30 60 М Градусы

т ВЫСОКИЙ/

о 1,5

90 ffaifni

ат=7й

значение

Рис. 2.20. Классические примеры нечетких выводов по правилам.

процесс классического нечеткого вывода. Справа как А V\ А получен результат приближенного сопоставления предпо-сы.аки правила А и данных наблюдения А. Затем рассмотрим максимальное значение а как некую меру сопоставления А П А, выполним редукцию по этой мере заключения В в правиле и получим результат вывода В (рис. 2.20, в). В качестве способа редукции В выбрано отсечение по мере сопоставления а (на рисунке а У означает, что

т,,(>) = а для Ууеу). (2.100)

Итак, для текущих данных наблюдения А (= довольно ВЫСОКИЙ) в результате применения правила А-* В {= Если ВЫСОКИЙ, то ОТКРЫТЬ) получаем В ( = слегка ОТКРЫТЬ). Здесь результат вывода В является нечетким множеством в У, как показано на рис. 2.20, <>. Однако пока никаких конкретных операций произвести нельзя. Дело в том, что на основе функции принадлежности пг (г) для В необходимо еще извлечь для каждой точки в У значения для выполнения операции. Этот процесс обычно называют дефадзифика-циейНа рис. 2.20 для этих целей использован метод центра тяжести (ЦТ), определено примерное значение для операции ЦТ = 70 (градусов) и принято рещение повернуть клапан на 70°.

Приведем более детальные рассуждения с использованием введенных выще обозначений. Прежде всего знание эксперта А- В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому назовем его нечетким отношением и обозначим через R:

R = A-B. (2.101)

R можно рассматривать как нечеткое множество на прямом произведении X х У полного пространства предпосылок X и полного пространства заключений У Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В с использованием данных наблюдения А и знания А-* В можно представить в виде формулы

В = А шВ- А •(Л-В). (2.102)

От английского слова defluzification - преобразование нечеткого множества в четкое представление.-Я/>ил{. перев.

Здесь • называется композиционным правилом " нечеткого вывода. Кроме того, стрелка -> в правиле Л-> S (2.101) называется нечеткой импликацией. Можно ли каким-то образом записать указанные выше определения на уровне функций принадлежности? Фактически нечеткий вывод на рис. 2.20 является применением максиминной композиции в качестве композиционного правила нечеткого вывода и операции взятия минимума в качестве нечеткой импликации:

= \J (тАх)МтАх)/\тв{у))) = ={\J (rnAx)/\mx)))/\mg{y) =

AAix)\ms{y) =

О./\mj{y) =

(у),

= т.

аУп В

ЦТ = • тд. (у) dy/jmg. (у) dy. у г

(2.103) (2.104) (2.105)

(2.106)

(2.107) (2.108)

(2.109)

Отметим, что в качестве варианта формул (2.104) и (2.105) используются традиционные правила распределения для максиминной операции.

Наиболее часто (по мнению авторов) используемый и самый типичный метод нечетких выводов, показанный на рис. 2.20, представляет собой метод нахождения центра тяжести композиции максимум-минимум. Основываясь на приведенных выше объяснениях, читатели могут придумать различные варианты рис. 2.20. Например, вместо метода центра тяжести для дефадзификации предложен метод медианы (истюльзуется среднее значение (медиана)), метод весов (основан на переменной у, задающей максимальное значение принадлежности), вместо отсечения аУП fi, получающего Е по Я и а,- метод применения сжатия аВ заключения В по а и т. п. Перечислить все методы здесь практиче-

Иногда правилом свертки.-Ярмл*. перев.

ски невозможно, их предложено более ста. Отметим только, что среди всех методов наиболее пригодным считается метод центра тяжести композиции максимум-минимум (рис. 2.20). Почти во всех современных СБИС нечетких выводов используется именно этот метод.

Ниже даны пояснения к операции нечеткой импликации с позиции нечеткой логики. Это очень важная операция, в основе которой лежит нечеткое отношение (2.101). Если зафиксировать элементы полного пространства и вернуться к значениям оценки в [О, 1], то нечеткую импликацию можно рассматривать как следующую функцию двух переменных или двучленное отношение в [О, 1];

: [О, 1] X [О, 1] [О, 1]

(2.110)

.Л-7.

Возьмем за образец случай четкой логики, в которой операция импликации задается табл. 2.1. В соответствии с формулой (2.33) x -* Х2 для четкого случая можно записать как Xi + Х2- Следовательно, если заменить НЕ на «вычитание из 1», а ИЛИ на максимум, то эта одна из стандартных операций нечеткой логики будет иметь вид

.V, л-2 = (1 -x,)V-2- (2-1И)

Если в случае нечетких выводов попытаться заменить в формуле (2.104)

т(х. у) = mg{x, }) = (] - тАх))\/meiy), (2.112)

то. очевидно, получим не слишком хорошие результаты.

Если для понимания смысла формулы (2.111) построить графики, аналогичные тем, что были созданы для /-нормы и л-нормы, то получим рис. 2.21, а. Здесь существуют четыре точные точки (жирные точки на рисунке): на них построены два треугольника. Однако с самого начала заданы только оси координат и эти четыре точки, поэтому скорее всего большинство читателей, получив задание - используя эти точки как промежуточные, построить два треугольника,-предпочтут этому рисунку рис. 2.21,(5. Представив рис. 2.22,(5 в виде формулы, получим

Х,-Х2={\ -Х,+ X2)/\h (2.113)

Эта формула представляет собой граничную сумму не-

01 = 1

Рис. 2.21. Два типа операции нечеткой импликации .Vi

четкого отрицания по типу «вычитание из 1» х, и В многозначной логике эта формула известна как импликация Лукашевича. Заде использовал эту операцию и предложил нечеткий вывод, сделав в формуле (2.103) следующую замену:

т{х, у) = тв{х, У) = {1 - шАх) + тд{у))/\\. (2.114)

На практике при проведении экспериментов в системах управления типа систем с задержкой первого порядка эта формула дает достаточно хорошие результаты. Кстати, Мамдами, указывая на перспективы внедрения нечеткого управления паровых турбин, получил неплохие результаты, используя метод композиции максимум-минимум в формулах (2.104)-(2.109).

В этом случае нечеткая импликация - это операция взятия минимума

Xi-X2 = Xi/\X2. (2.115)

По свойствам эта операция представляет собой /-норму типа логического произведения (рис. 2.15). При этом табл. 2.1-операции четкой импликации больше не существует. В случае когда предпосылка x в этой таблице равна О ( = ложь), четкая импликация равна 1, а минимум-0. В случае когда предпосылка неустойчива, имеет смысл рассматривать нечеткую импликацию как операцию взятия минимума, поскольку ответа получить нельзя.

Кроме данной формулы для операции нечеткой импликации предложено несколько конкретных формул, но на прак-