тике операция взятия минимума используется чаще всего, поскольку она дает неплохие результаты. Иногда операция четкой импликации просто не существует, а нечеткая импликация типа /-нормы или другого типа не образует аксиоматически упорядоченной системы.

Об основах нечетких выводов с помощью нечетких продукционных правил уже говорилось выще. Необходимо добавить несколько слов об уровне реализации. Прежде всего в базе знаний обычно хранится несколько знаний. Кроме того, в нечетких суждениях, описываемых в предпосылках и заключениях каждого правила, имеется несколько членов. Следовательно, в общем случае рассматривается база знаний типа

Если =0, ,2 = 0,..., Ai„ = О, то

(2.116)

где / -число правил, ш-число членов в предпосылке, и-число членов в заключении. На практике чаще всего / имеет значение от нескольких единиц до 30 (иногда до 100), отношение т:п принимает значение от 2:1 до 5:2. Однако число правил в экспертных системах с четкими правилами достигает нескольких сотен, а то и тысяч (иногда больше десяти тысяч). В отличие от них в случае нечетких экспертных систем число правил на порядок меньше. Это связано с тем, что каждое нечеткое правило детализируется в четком мире, а также с тем, что целое число представляется приближенно с помощью существенно меньшего числа правил. Часто высказывается мнение: «Можно обойтись на порядок или два меньшим числом нечетких правил по сравнению со случаем четкого мира». Тот факт, что число правил крайне мало, облегчает приобретение знаний от эксперта, упрощает отладку экспертной системы, позволяет строить систему с хорошим соотношением стоимость/производительность-эти и другие причины являются важными стимулами практического внедрения нечетких экспертных систем.

При выполнении практических операций методом композиции максимум-минимум с вычислением центра тяжести результат вывода по каждому правилу получается так, как на рис. 2.20. При этом часто используется метод, по которому за окончательный результат выводов принимается сумма нечетких множеств результатов вывода по каждому правилу (операция логической суммы или взятия максимума).

Иначе говоря, выбирается система параллельного запуска, используемая одновременно с каждым правилом.

Рассмотрим на простом примере элементы этой системы. Пусть число правил равно 3 и в каждом правиле по одной предпосылке и одному заключению, т. е. заданы следующие правила:

Л,: Если А есть Л, то В есть L,

R;. Если А есть С, то В есть С, (2.117)

R: Если А есть L, то В есть R.

Здесь функции принадлежности R, С, Lna нечетком уровне заданы так, как на рис. 2.22. Другими словами, R, С. L определяют соответственно понятие «правое», «центр», «левое», а формулы (2.117)-правила поведения несговорчивого человека, говорящего: «Если правое, то левое». Если в качестве данных наблюдения введено А (рис. 2.22,6), выясним, каким будет ответ, полученный методом композиции максимум-минимум с вычислением центра тяжести (ЦТ). Л-зто наблюдаемая информация «почти справа», имеющая пик на 0,5 правее, поэтому по правилам несговорчивого человека ожидается ответ «немного левее». И на самом деле, как показано на рис. 2.23, будет получен результат со значением ЦТ немного левее центра.

В традиционном процессе управления в некоторый момент времени наблюдается А, определяется операционное значение ЦТ так, как на рис. 2.23, выполняется действие по управлению, в следующий момент времени наблюдается новое А\ вновь в соответствии с рис. 2.23 определяется операционное значение, выполняется действие и далее про-

Рис. 2.22. Пример нечеткого вывода по правилам. (i фуныши принадлежности L. С. R иа нечетком уровне; б-функция принал-лежностн наблюдаемой информации А.

.B=B!uBjvB

Рис. 2.23. Простейшие примеры нечетких выводов.

цедура повторяется. В случае когда подобная система управления требует быстрой реакции, время выполнения одного нечеткого вывода от ввода А до вывода ЦТ должно быть очень небольшим. В качестве единицы измерения такого быстродействия часто используют FLIPS (число нечетких выводов в секунду). Быстродействие зависит от числа правил, числа членов и плотности полного пространства, но с помощью программ, выполняемых в обычных однокристальных микропроцессорах, можно добиться приемлемого для системы быстродействия. Например, при нечетком управлении метрополитеном с использованием 24 правил и 8-разрядного процессора достигнуто быстродействие 10 FLIPS, каждые 100 мс прогнозировалось положение подвижного состава через 3 с, что обеспечило плавное движение. Как видно из этого примера, техника нечеткого управления внедряется в промышленность как техника сокращения затрат труда.

В случае когда необходима еще более быстрая реакция, рассматривают вопрос аппаратной реализации нечетких выводов. На рынок уже выпущены несколько типов изделий. В настоящее время говорят уже о возможности обработки с быстродействием порядка 40 млн. FLIPS (один нечеткий вывод выполняется за время, равное времени прохождения светом 7,5 м в вакууме). Исследуется возможность применения подобных чипов нечетких выводов при управлении роботами, самолетами, ракетами и другими объектами.

Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключениям. Они наиболее часто используются на практике. Однако в последние годы в диагностических нечетких экспертных системах начинают применять нисходящие выводы. Поэтому скажем о них здесь несколько слов. По существу это метод моделирования с помощью уравнения нечетких отношений.

Дадим пояснения на примере диагностической системы. Пусть полное пространство предпосылок X состоит из т факторов, а полное пространство заключений - из и симптомов:

X = {xi. Х2.....xJ,

У={У1.У2.....л}-

(2.118) (2.119)

Например, рассмотрим упрощенную модель диагностики неисправности автомобиля при т = 2, я = 3: л:j-неисправность аккумулятора, - отработка машинного масла, у-затруднения при запуске, j-j-ухудшение цвета выхлопных газов, Уз-недостаток мощности. При этом между каждым членом предпосылок и каждым членом заключений существуют причинные отношения. Обозначим эти причинные отношения через Х; -> у J или просто rj и назовем их нечеткими отношениями jc, и yj. Если собрать вместе нечеткие отношения между всеми х и yj, то получим матрицу Rem строками и п столбцами. Назовем ее матрицей нечетких отношений:

Л = [г,,] = J (2.120)

Для каждого г,у как для нечеткого множества (первого рода) введем меру причинных отношений в виде вещественного числа в [О, 1]. Кроме того, предпосылки будем рассматривать как вход, а заключения-как выход. При этом указанные выше состояния можно рассматривать как состояния

Теория нечетких множеств

Входы

Выходь!

(нечеткое (нечеткое (нечеткое

множество в X) множество вХУ) мноукества t У)

В-АЙ

Рис. 2.24, Моделирование с помощью нечеткой системы,

нечеткой системы, показанной на рис. 2.24. Конкретные предпосылки (входы) и заключения (выходы) можно рассматривать как нечеткие множества А м В яа. пространствах X Y. Если отношения этих множеств обозначить как

B = A»R,

(2.121)

то возможна формализация задачи диагностики, как и в случае правил. Здесь • является правилом композиции нечетких выводов. При этом направление выводов является обратным по отношению к направлению выводов для правил. Другими словами, в случае диагностики R идентифицируется по знаниям эксперта, наблюдаются выходы В (или симптомы), а определяются входы А (или факторы). Например, в приведенном выше примере диагностики неисправностей автомобиля знания автомеханика преобразуются в вид

Г0,9 0,1 0,2П

4o,6 0,5 0,5j- (2-22)

Если подъехал автомобиль и в результате его осмотра обнаружились трудности при его запуске, а мопщость и выхлопные газы в норме, то состояние можно оценить как

В = 0,9/у1 +0,1/г2 + 0,2/уз. (2.123)

Желательно определить причины

А = ajxi+а-.1х2 (2.124)

такого состояния. В этом случае формулы (2.123) и (2.124) часто представляются в виде нечетких векторов-строк

Главе) 2

5 = [0,9, 0,1, 0,2], (2.125)

A = {fly(i{\. (2.126)

Тогда формулу (2.121) можно представить в виде

0,9, 0,1, 0,2 L0,6, 0,5, 0,5

либо, транспонируя, в виде нечетких ректоров-столбцов

[0,9, 0,1, 0,2] = [а,, (г]»

(2.127)

(2.128)

что, по-видимому, более знакомо для читателей, изучавших матрицы и матричную алгебру. Здесь также в качестве правила композиции нечетких выводов • изучаются различные способы, но традиционно чаще используют композицию максимум-минимум. В этом случае формулы (2.127) или (2.128) преобразуются в вид

0,9 = (0,9Afli)V(0-6A«2), (2.129)

0,1 =(0,lAai)V(0,5A«2), (2.130)

0,2 = (0,2Да,)у(0,5Ла2), (2.131)

что можно рассматривать как моде.шрование с помощью системы уравнений первого порядка, если заменить сложение на максимум, а умножение на минимум. Решим эту систему. Прежде всего в выражении (2.129) второй член прарой части не влияет на левую часть, поэтому получим

0,9 = 0,9Да1, flj > 0,9. (2.132)

Далее из выражения (2.130) цолучим

0,1 0,5Да2, < 0,1. (2.133)

Формулы (2.132) и (2.133) удовлетворяют выражению (2.131). Таким образом, получаем решение

1,010,9, 0<a2<0,U (2.134)

т.е. лучше заменить аккумулятор (flj-Mepa несправности аккумулятора, 2 мера отработки машинного масла).

На практике m и « принимают значения от нескольких единиц до нескольких десятков, используют несколько типов