правил композиции нечетких выводов и часто имеют дело с двух-или трехкаскадными нечеткими системами. В данном примере решение получено как значения в отрезке (выражение (2.134)), в результате можно предложить максимальное [1,0, 0,1] или минимальное решение [0,9, 0]. В общем случае очевидно, что для композиции максимум-минимум существует единственное максимальное и несколько «меньших» решений. Разумеется, иногда решение отсутствует. С Практической точки зрения методов решения систем уравнений нечетких отношений еще недостаточно по сравнению с методами выводов по правилам, и в настоящее время пока не поставляются пакеты программ для решения таких систем.

Как сказано в начале главы, на теоретическом уровне изучаются другие разновидности нечетких выводов, например нечеткие выводы с применением фреймов. В ближайшем будущем с большой вероятностью новые методы найдут применение для решения практических задач.

2.7. ЗАДАЧИ

Выще были изложены основы нечеткой логики с точки зрения ее применения. Для более глубокого понимания и освоения до уровня, позволяющего начать самостоятельные конкретные разработки и исследования, приведем несколько учебных задач. Решение каждой из них можно найти исходя из приведенного выше материала, поэтому решения здесь не приводятся.

1. Покажите, что формула (2.13) отношения вложения множеств удовлетворяет формулам (2.14)-(2.16) и образует POSET.

2. Запишите формулы (2.20)-(2.25) для операций над четкими множествами и проверьте, что они образуют булеву алгебру.

3. Проверьте справедливость формулы двойного отрицания (2.26) и закона де Моргана (2.27) для операций над четкими множествами.

4. Уточните, почему существует 2" комбинационных схем с и входами и одним выходом.

5. Докажите п. 1 на с. 27 и на ее основе докажите пл. 2, 3..

6. С помощью таблицы истинности докажите формулу (2.33).

7. Покажите, что для формул (2.42)-(2.45) операций над

нечеткими множествами справедливы законы рефлексивности, антисимметрии, транзитивности, идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, абсорбции, дистрибутивности, двойного отрицания, де Моргана, но несправедлив закон комплементарности (2.46).

8. Нарисуйте самостоятельно рис. 2.12.

9. Представьте в графической форме формулы (2.54), (2.55) по образцу рис. 2.12. Кроме того, представьте в графической форме формулу (2.56) в случае X, = 1/2.

10. Докажите формулу (2.57).

11. Докажите результат 3 на с. 41.

12. Докажите формулу (2.79).

13. /-норма Ягера для положительного параметра р определяется следующим образом:

X, ,Г.Г,= 1-(1 Л ((1-2)0"")

(2.135)

Покажите, что эта норма удовлетворяет аксиомам Т1~Т4.

14. Покажите, что максимальная /-норма-это логическое произведение, а минимальная /-норма-это драстическое произведение.

15. Докажите формулу (2.89).

16. .?-норма Ягера для положительного параметра р определяется следующим образом:

X, j.r, = 1Л(х?+х?)/. (2.136)

Покажите, что эта норма удовлетворяет аксиомам S1-S4.

17. Покажите, что максимальная .?-норма-это драстиче-ская сумма, а минимальная 5-норма - это логическая сумма.

18. Используя нечеткое отрицание, /-норму, .?-норму, выведите формулу (2.91) из формулы (2.90) и формулу (2.90) из формулы (2.91).

19. Нечеткое отрицание есть «вычитание из 1». Покажите, что логическая, алгебраическая, граничная, драстическая и пара Ягера (формулы (2.135) и (2.136)) взаимно дуальны.

20. Напишите программу, реализующую рис. 2.20.

21. Напишите программу при условии, что блок дефадзи-фикации в задаче 20 использует метод медианы и метод высоты. Кроме того, напишите программу минимизации а при получении ff.

22. Напишите программу нечетких выводов по правилам (2.166).

23. Постройте схему, реализующую программу 22.

ГЛАВА 3

ПРОМЫШЛЕННЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ

О. Ито (фирма «Фудзи факому сэйге»), М. Инаба (фирма NKK), С. Мураками (Университет Кюсю), Т. Синтомэ (Институт государства и права), М. Сугэно (Токийский политехнический институт), Д. Фудзики (ЦНИИ фирмы «Рико»), С. Ясунобу (завод фирмы «Хитати»)

в настоящее время известны многочисленные исследования по применению нечеткой логики для автоматического управления и распознавания образов. Первые практические исследования по теории нечетких множеств были проведены Мамдани для автоматического управления котлами. Исследуя адаптивное и обучающееся управление, он пришел к выводу о необходимости использования нечетких множеств при решении этих задач, так как другие известные методы оказались слишком сложными. Ниже рассмотрены примеры успешной автоматизации прежде всего за счет нечеткого управления.

ЗЛ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Известно, что идеи нечеткой логики зародились в технике. Создатель теории нечетких множеств Заде был специалистом по теории управления. В числе основных промышленных применений теории можно назвать управление, диагностику неисправностей, распознавание образов, обработку изображений, анализ надежности, проектирование систем, компьютеры и т.д. Однако основной областью применения этой теории было управление. В последнее время активно проводятся исследования по приложениям в распознавании образов и в компьютерах. Почему же применение теории началось именно в управлении? Дело в том, что в исходную идею о нечеткой логике укладывались представления об управлении. Более того, поскольку задачи управления возни-

Глава 3

кают почти во всех технологических процессах и в любом оборудовании, потребности в теории и возможности ее приложения были достаточно велики.

В качестве одной из предпосылок возникновения идеи нечеткого множества Заде выдвигает так называемый принцип несовместимости, который заключается в том, что с увеличением размеров и сложности системы существенно усложняется ее моделирование с помощью известных математических выражений. Другими словами, при использовании формул существенно возрастает число переменных и параметров, измерение отдельных переменных и определение параметров сильно затрудняется, и создание полностью адекватной модели становится практически невозможным. Вместо этого Заде предложил лиетвистическую модель, которая использует не математические выражения, а слова, отражающие качество. Применение этих слов не обеспечивает такую же точность, какой обладают математические модели, но дает возможность создать хорошую, качественную модель системы. Подобные модели уже используются для экономических и социальных систем. Предметом обсуждения является нечеткость слов языка описания систем. Заде утверждал, что нечеткость-это, скорее, достоинство, а не недостаток моделирования. На примере задачи постановки автомобиля на стоянку между двумя другими автомобилями он объясняет достоинства нечеткого описания таким образом.

Следуя общеизвестным методам теории управления и решая эту задачу с помощью уравнений движения автомобиля, поставить автомобиль на стоянку невозможно: нельзя достоверно измерить ни состояние дорожного покрытия, ни состояние шин; построение уравнений движения условно и нельзя определить их параметры. Однако в школе вождения новичок, не зная уравнений движения и обучаясь только со слов инструктора, может умело поставить автомобиль на стоянку. Ему говорят: «Поворачивая руль направо, двигайся вперед; возврати руль налево и остановись; затем, поворачивая направо, двигайся назад и возврати руль налево; в случае неудачи повтори». Следуя общим указаниям, выраженным подобными словами, человек может водить автомобиль, а компьютеру это не под силу. Указания для него должны быть представлены в виде детерминированных математических выражений, но, как сказано выше, вывести их невозмож-

5-6830

но. Если даже предположить, что такие выражения существуют, они будут упрощенными; в их структуру заранее будут включены характеристики автомобиля и обстановка вокруг него. Управление автомобилем по таким выражениям будет рискованным, поскольку реальность и модель неадекватны.

Качественный процесс рещения задачи, свойственный человеку, называют нечетким алгоритмом. Идея нечеткого управления состоит в реализации нечеткого алгоритма в компьютере с использованием нечеткой логики. Как уже говорилось в начале главы, исследования применения нечеткой логики в промышленности начались с нечеткого управления и привели к впечатляющим результатам; более того, благодаря успехам нечеткого управления повысился интерес к нечеткой логике во всем мире. Почти все причины успешного применения нечеткой логики в областях, не связанных с управлением, так или иначе сводятся к идее нечеткого управления. Метод нечеткого управления может быть полезен для любых приложений. Ниже в упрощенной форме описываются метод нечеткого управления и его особенности.

При традиционном нечетком управлении осуществляется параллельная обработка большого числа правил, а не непрерывное выполнение последовательных предписаний типа нечеткого алгоритма. На Практике применение правил сводится к нечетким выводам в нечеткой логике. В качестве примера правил и выводов рассмотрим следующую схему:

Правило «При сокращении расстояния между

автомобилями уменьшите скорость»

Ситуация «Расстояние между автомобилями

примерно 20 м»

Реализация «Сильно уменьшите скорость»

В данной схеме «реализация» представляет собой результат нечеткого вывода. В действительности имеется несколько таких правил, поэтому результаты отдельных выводов обобщаются, и полученный результат преобразуется в числовое значение (задающую величину) для ввода в оборудование, которое является объектом управления. Возможен также способ нечеткого управления с выбором только одного наиболее подходящего правила. Правила описываются с помощью неопределенных слов, как в приведенной выше схеме, и называются правилами нечеткого управления.

Существуют четыре способа составления правил нечеткого управления, т.е. проектирования нечетких регуляторов: 1) на основе опыта и знаний эксперт; 2) путем создания модели действий оператора; 3) путем обучения и 4) на основе нечеткой модели оборудования. Способ I аналогичен способу создания жспертной системы; в словесном виде извлекаются опыт квалифицированного оператора и знания инженера по управлению, которые зате.м обобщаются в виде правил нечеткою управления в форме «если ... то». Способ

2 используется в случаях, когда от экспертов не удается получить правила в словесном выражении, в частности когда оператор запоминает .манипуляции, например в виде движений рук, но представить их на языковом уровне затрудняется. Но даже в этом случае, если действия оператора можно смоделировать в форме «если... то», их можно непосредственно использовать в качестве правил управления. Способ

3 эффективен в случаях, когда можно провести эксперимент на реальном оборудовашш или существует модель оборудования; в частности, он удобен при управлении роботами. HpaBHjTa нечеткого управления можно формировать путем обучения, начиная с ситуации, коглая еше нет ни одного правила, либо в соответствии с изменением среды постепенно улучшать за счет обучения (поэт о.му \ЮЖ1Ю не привлекать экспертов). Способ 4 используется в случаях, когда предполагается создание нечеткой модели оборудования. Если при этом модель создается в форме «если ... то», правила нечеткого управления легко выводятся теоретически, исходя из целей управления и мoдejш оборудования.

Нечеткое управление, впервые испытанное в начале 70-х годов Мамдаии, сотруднико.м Лондонского университета, в начале 80-х годов было реализовано в Дании для управления цемепт1юй обжиговой нечью. В Японии практические исследования нача.шсь примерно в 1985 т. и в насгоящее время известно немало примеров практическою применения. Можно выявить три особенности нечеткого управления.

Первая особенность заключается в том, что правила нечеткого управления, будучи условными высказываниями типа «ес.ш.то». являются jmrH4ecKHMH. Использование правил осуществляется, естественно, через механизм логических выводов. Лошческое управ:кчше означает, что логику