Табл. 7-3.

Разложение на множителя с помощью "квадратичного решета"

Вычислительная мощь обычно измеряется в mips-годах: годовая работа компьютера, выполняющего миллион операций в секунду (one-million-instruction-per-second, mips), или около 3*1013 операций. Принято, что машина с производительностью 1 mips-год эквивалентна VAX 11/780 компании DEC. То есть, mips-год - это год работы компьютера VAX 11/780 или эквивалентного. (100 МГц Pentium - это машина в 50 mips, а Intel Paragon из 1800 узлов - примерно 50000 mips.)

В 1983 году разложение на множители 71-разрядного числа требовало 0.1 mips-года, в 1994 году разложение на множители 129-разрядного числа потребовало 5000 mips-лет. Такой взлет вычислительной мощности обусловлен, в основном, введением распределенных вычислений, использующих время простоя сети рабочих ста н-ций. Этот подход был предложен Бобом Силверманом (Bob Silverman) и полностью разработан Аржаном Ле н-строй (Arjen Lenstra) и Марком Манассом (Mark Manasse). В 1983 году разложение на множители использовало 9.5 часов процессорного времени на единственном компьютере Cray X-MP, в 1994 году разложение на множители заняло 5000 mips-лет и использовало время простоя 1600 компьютеров во всем мире в течение приблизительно восьми месяцев. Современные методы разложения на множители позволяют использовать подобные распределенные вычисления.

Картина даже продолжает ухудшаться. Новый алгоритм разложения на множители - решето общего поля ч и-сел - заменил квадратичное решето. В 1989 году математики сказали бы вам, что решето общего поля чисел никогда не будет иметь практического значения. В 1992 году они сообщили бы, что оно реализуемо, но дает выигрыш по сравнению с квадратичным решетом только для чисел со 130-150 десятичными разрядами и бол ь-ших. Сегодня известно, что этот новый алгоритм быстрее, чем квадратичное решето, для чисел значительно меньших, чем 116-разрядные [472, 635]. Решето общего поля чисел может разложить на множители 512-битовое число в 10 раз быстрее, чем квадратичное решето . На 1800-узловом компьютере Intel Paragon выполнение этого алгоритма заняло бы меньше года. В 3rd показано количество mips-лет, которое требуется для разложения чисел различных размеров при использовании современных реализаций решета общего поля чисел

[1190].

Табл. 7-4.

Разложение на множители с помощью решета общего поля чисел

Количество бит

Сколько mips-лет нужно для разложе-

Кроме того, решето общего поля чисел становится все быстрее и быстрее . Математики изобретают новые трюки, оптимизации, методы, и нет причин считать, что эта тенденция оборвется. Близкий алгоритм, решето специального поля чисел, уже может разлагать на множители числа определенной специализированной формы -обычно не используемые в криптографии - гораздо быстрее, чем решето общего поля чисел может разложить на

множители любые числа того же размера. Разумно предположить, что решето общего поля чисел может быть оптимизировано, чтобы достичь такой же скорости [1190], возможно, что NSA уже знает, как это сделать. В 2-й показано количество mips-лет, требуемое для разложения чисел различной длины при помощи решета спец и-ального поля чисел [1190].

Табл. 7-5.

Разложение на множители с номощью решета снециа-ного ноля чисел

В 1991 году участники семинара Европейского института безопасности систем ( European Institute for System Security) согласились, что 1024-битовых модулей будет достаточно для длительного хранения секретов до 2002 года [150]. Однако, они предупреждали: "Хотя участники этого семинара являются лучшими специалистами в соответствующих областях, это заявление (по поводу срока безопасности) должно быть воспринято с осторожностью." Это хороший совет.

Умный криптограф сверхконсервативен при выборе длин открытых ключей . Чтобы понять, насколько длинный ключ вам нужен, вам придется оценить нужную безопасность и время жизни ключа, не забывая о текущем состоянии искусства разлагать на множители . Чтобы получить тот же уровень безопасности, который давало 512-битовое число в начале восьмидесятых, сегодня вам понадобится 1024-битовое число. Если же вы хотите, чтобы ваши ключи оставались безопасными в ближайшие 20 лет, 1024-битовое число, по видимому, слишком коротко.

Даже если ваши конкретные секреты не стоят усилий, нужных для разложения вашего модуля, вы можете оказаться в опасности. Представьте себе автоматическую банковскую систему, использующую для безопасности RSA. Мэллори может предстать перед судом и заявить: "Читали ли вы в газете за 1994 год, что RSA-129 был взломан, и что 512-битовые числа могут быть разложены на множители любой организацией, которая может потратить несколько миллионов долларов и подождать несколько месяцев ? Мой банк использует для безопасности 512-битовые числа и, между прочим, эти семь изъятий сделаны не мнойДаже если Мэллори лжет, судья, вероятно, может потребовать, чтобы банк это доказал.

Почему не использовать 10000-битовые ключи ? Конечно, можно, но чем длиннее ваши ключи, тем больше стоимость вычислений. Вам нужен ключ, который был бы достаточно длинным для обеспечения безопасности, но достаточно коротким, чтобы его можно было использовать .

Ранее в этом разделе я называл предсказания глупостью . Теперь я сам попытаюсь предсказать кое-что . В 1-й приведены мои рекомендации по выбору длин открытых ключей в зависимости от того, какой срок безопасн ости ключа вам нужен. Для каждого года приведены три длины ключа, одна для частного лица, одна для крупной корпорации и одна для правительства большого государства .

Вот некоторые соображения из [66]:

Мы считаем, что сможем получить доступ к 100 тысячам компьютеров без сверхчеловеческих усилий и неэтичнгх де й-ствий. То есть, мы не собираемся выпускать в Internet "червя" или разрабатывать вирус, который бы предоставил бы нам в ы-числительные ресурсы. Во многих организациях многие тысячи машин подключены к сети . Доступ к их возможностям потребует искусной дипломатии, но не является невозможным. Приняв среднюю производительность машины равной 5 mips и время работы 1 год, вполне возможно осуществить проект, который требует полмиллиона mips-лет.

Проект разложения на множители 129-разрядного числа без значительных усилий смог задействовать 0.03 процента оценочной полной вычислительной мощности Internet [1190]. Разумно предположить, что хорошо разрекламированный проект получит на год 2 процента всемирной вычислительной мощности .

Предположим, что увлеченный криптоаналитик сможет получить в свое распоряжение 10000 mips-лет, большая корпорация - 107 mips-лет, а правительство большой страны - 109 mips-лет. Предположим также, что вычислительная мощь будет возрастать на порядок каждые пять лет . И , наконец, предположим также, что ус-

пехи в математике разложения на множители позволят нам раскладывать любые числа со скоростью, сравн и-мой с той, которую обеспечивает решето специального поля чисел. (Это пока невозможно, но прорыв может случиться в любой момент.) 1st рекомендует для различных лет использовать с целью обеспечения безопасн ости различные длины ключей.

Табл. 7-6.

Рекомендованные длины открытых ключей в (битах)

Не забывайте учитывать значимость ключа. Открытые ключи часто используются для длительной обеспеч е-ния безопасности важной информации: главный ключ банка для системы электронных наличных, ключ, используемый правительством для подтверждения паспортов, ключ цифровой подписи государственного нотари уса. Возможно, не стоит тратить месяцы машинного времени на вскрытие какого-то личного ключа, но если м о-жете с помощью добытого ключа напечатать собственные деньги, то идея становится весьма захватывающей . Длина 1024-битовогой ключа достаточна для подписи чего-нибудь, что будет проверено в течение недели, мес я-ца, даже нескольких лет. Но вы же не хотите, представ перед судом лет 20 спустя с подписанным электронным образом документом, смотреть, как противоположная сторона показывает, как подделать документы, используя эту же подпись .

Предсказывать более далекое будущее еще глупее. Кто может знать, каких успехов к 2020 году достигнет вычислительная техника, сетевые вычисления и математика ? Однако, если окинуть взглядом всю картину, можно заметить, что в каждом следующем десятилетии мы получаем возможность разлагать на множители вдвое более длинные числа, чем в предыдущем . Это позволяет построить 0-й.

С другой стороны, техника разложения на множители может достичь предела своих возможностей задолго до 2045. Хотя я думаю, что это маловероятно.

Не все согласятся с моими рекомендациями . NSA установило для своего Стандарта цифровой подписи (Digital Signature Standard, см. раздел 20.1) длину ключей от 512 до 1024 бит - намного меньше, чем я рекомендую для длительной безопасности. У Pretty Good Privacy ("Вполне надежный секрет", см. раздел 24.12) максимальная длина ключа RSA составляет 2047 бит. Аржан Ленстра, лучший в мире раскладыватель на множители, в течение последних 10 лет отказывается делать предсказания [949]. В -1-й приведены рекомендации Рона Ри-веста для длины ключей, которые сделаны в 1990 году и кажутся мне слишком оптимистичными [1323]. Хотя его анализ на бумаге выглядит хорошо, в недавней истории можно найти примеры регулярно происходящих сюрпризов. Чтобы предохранить себя от последствия этих сюрпризов, есть смысл выбирать ключи с запасом .

Табл. 7-7.

Долгосрочный прогноз разложения на множители

Минимальные оценки предполагают бюджет $25000, алгоритм "квадратичное решето " и скорость технического прогресса 20 процентов в год. Средние оценки предполагают бюджет 25 миллионов долларов, алгоритм "решето общего поля чисел" и скорость технического прогресса 33 процента в год . Максимальные оценки предполагают бюджет 25 миллиардов долларов, алгоритм "решето общего поля чисел", работающий со скоростью