n (если, конечно, n не является простым числом). Обратите внимание, что если J( a,n) = 1 и n - составное число, то утверждение, что a является квадратичным вычетом по модулю n, не обязательно будет истиной. Например:

J(7,143) = J(7,11)* J(7,13) = = 1

Однако не существует таких целых чисел x, что x2 = 7 (mod 143). Целые числа Блюма

Если p и q - два простых числа, конгруэнтных 3 по модулю 4, то n = pq иногда называют целым числом Блюма. Если n - это целое число Блюма, у каждого квадратичного вычета ровно четыре квадратных корня, один из которых также является квадратом - это главный квадратный корень. Например, главный квадратный корень 139 mod 437 - это 24. Остальные три корня - это 185, 252 и 413.

Генераторы

Если p - простое число, и g меньше, чем то g называется пенератором по модулю если для каждого числа b от 1 до p - 1 существует некоторое число a, что ga = b (mod p).

Иными словами, g является примитивом по отношению к p. Например, если p = 11, то 2 - это генератор по модулю 11:

210 = 1024 = 1 (mod 11)

21 = 2 = 2 (mod 11)

28 = 256 = 3 (mod 11)

22 = 4 = 4 (mod 11)

24 = 16 = 5 (mod 11)

29 = 512 = 6 (mod 11) 27 = 128 = 7 (mod 11)

23 = 8 = 8 (mod 11) 26 = 64 = 9 (mod 11)

25 = 32 = 10 (mod 11)

Каждое число от 1 до 10 может быть представлено как 2 a (mod p). Для p = 11 генераторами являются 2, 6, 7 и 8. Другие числа не являются генераторами. Например, генератором не является число 3, потому что не сущ е-ствует решения для

3a = 2 (mod 11)

В общем случае проверить, является ли данное число генератором, нелегко. Однако задщача упрощается, е с-ли известно разложение на множители для p - 1. Пусть q1, q2, ... , qn - это различные простые множители p - 1. Чтобы проверить, является ли число g генератором по модулю p, вычислите

g-1)/q mod p

для всех значений q = q1, q2, ... , qn.

Если это число равно 1 для некоторого q, то g не является генератором. Если для всех значений q рассчитанное значение не равно 1, то g - это генератор.

Например, пусть p = 11. Простые множители p - 1 = 10 - это 2 и 5. Для проверки того, является ли число 2 генератором, вычислим:

2(11-1)/5 (mod 11) = 4

2(11-1)/2 (mod 11) = 10

Ни один из ответов не равен 1, поэтому 2 - это генератор. Проверим, является генератором ли число 3: 3(11-1)/5 (mod 11) = 9 3(11-1)/2 (mod 11) = 1 Следовательно, 3 - это не генератор.

При необходимости обнаружить генератор по модулю p просто случайно выбирайте число от 1 до p - 1 и проверяйте, не является ли оно генератором. Генераторов достаточно, поэтому один из них вы, скорее всего, найдете быстро.

Вычисление в поле Галуа

Не тревожьтесь, все это мы уже делали. Если n - простое число или степень большого простого числа, то мы получаем то, что математики называют конечным полем. В честь этого мы используем p вместо n. В действительности этот тип конечного поля настолько замечателен, что математики дали ему собственное имя - поле Галуа, обозначаемое как GF(p). (В честь Эвариста Галуа, французского математика, жившего в девятнадцатом веке и успевшего значительно продвинуть теорию чисел, прежде чем в 20 лет он был убит на дуэли.)

В поле Галуа определены сложение, вычитание, умножение и деление на ненулевые элементы. Существует нейтральный элемент для сложения - 0 - и для умножения - 1. Для каждого ненулевого числа существует еди н-ственное обратное число (это не было бы так, если бы p не было бы простым числом). Выполняются коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы.

Арифметика поля Галуа широко используется в криптографии. В нем работает вся теория чисел, поле с одержит числа только конечного размера, при делении отсутствуют ошибки округления. Многие криптосистемы основаны на GF(), где p - это большое простое число.

Чтобы еще более усложнить вопрос, криптографы также используют арифметику по модулю неприводимых многочленов степени n, коэффициентами которых являются целые числа по модулю q, где q - это простое число. Эти поля называются GF( qn). Используется арифметика по модулю /(x), где /(x) - это неприводимый многочлен степени n.

Математическая теория, стоящая за этим, выходит далеко за рамки этой книги, хотя я и опишу ряд крипт о-систем, использующих ее. Если вы хотите попробовать с неприводимыми многочленами, то GF(2 3) включает следующие элементы: 0, 1, x, x + 1, x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1. Удобный для параллельной реализации алгоритм вычисления обратных значений в GF(2n) приведен в [421].

При обсуждении полиномов термин "простое число" заменяется термином " неприводимый многочлен". П о-лином называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух других полиномов (конечно же, кроме 1 и самого полинома). Полином x2 + 1 неприводим над целыми числами, а полином x3 + 2 x2 + x не является неприводимым, он может быть представлен как x(x + l)(x + 1).

Полином, который в данном поле является генератором, называется примитивным или базовым, все его к о-эффициенты взаимно просты. Мы снова вернемся к примитивным полиномам, когда будем говорить о сдвиг о-вых регистрах с линейной обратной связью (см. раздел 16.2).

Вычисления в GF(2n) могут быть быстро реализованы аппаратно с помощью сдвиговых регистров с лине й-ной обратной связью. По этой причине вычисления над GF(2 n) часто быстрее, чем вычисления над GF( p). Так как возведение в степень в GF(2n) гораздо эффективнее, то эффективнее и вычисление дискретных логарифмов [180, 181, 368, 379]. Дополнительную информацию об этом можно найти в [140].

Для поля Галуа GF(2n) криптографы любят использовать в качестве модулей трехчлены /7(x) = xn + x + 1, так как длинная строка нулей между коэффициентами при xn и x позволяет просто реализовать быстрое умножение по модулю [183]. Полином должен быть примитивным, в противном случае математика не будет работать. xn + x + 1 примитивен для следующих значений n, меньших чем 1000 [1649, 1648]:

1, 3, 4, 6, 9, 15, 22, 28, 30, 46, 60, 63, 127, 153, 172, 303, 471, 532, 865, 900

Существуют аппаратные реализации GF(2127), где /(x) = x127 + x + 1 [1631, 1632, 1129]. Эффективная архитектура аппаратуры возведения в степень для GF(2 n) рассматривается в [147].

11.4 Разложение на множители

Разложить число на множители - значит найти его простые сомножители.

10 = 2*5

60 = 2*2*3*5

252601 =41*61*101

2113- 1 =3391*23279*65993*1868569*1066818132868207

Разложение на множители является одной из древнейших проблем теории чисел. Этот процесс несложен, но требует времени. Это пока остается так, но ряд сдвигов в этом искусстве все же произошел. Сегодня самым лучшим алгоритмом является:

Решето числовопо поля чисел (Number field sieve, NFS) [953] (см. также [952, 16, 279]). Решето общепо

числовопо поля - это самый быстрый из известных алгоритм для чисел размером 110 и более разрядов [472, 635]. В своем первоначальном виде он был непрактичен, но за последние несколько лет он был последовательно улучшен [953]. NFS все еще слишком нов, чтобы бить рекорды разложения на множители, но скоро все перем е-нится. Ранняя версия использовалась для разложения на множители девятого числа Ферма: 2512 + 1 [955,954].

Другие алгоритмы, вытесненные NFS:

Квадратичное решето (Quadratic sieve, QS) [1257, 1617, 1259]. Это самый быстрый из известных и чаще всего использовавшийся алгоритм для чисел, длина которых меньше 110 десятичных разрядов [440]. Более б ы-страя версия этого алгоритма называется множественным полиномиальным квадратичным решетом [1453, 302]. Самая быстрая версия называется двойной вариацией множественного полиномиального квадратичного решета с большим простым числом.

Метод эллиптической кривой (Elliptic curve method, ECM) [957, 1112, 1113]. Этот метод использовался для поиска не более, чем 43-разрядных множителей.

Алпоритм Монте-Карло Полларда (Pollards Monte Carlo algorithm) [1254, 248]. (Этот алгоритм также приведен у Кнута в томе 2 [863].)

Алпоритм непрерывных дробей (Continued fraction algorithm). См. [1123, 1252, 863]. Этот алгоритм не подходит по времени выполнения.

Проверка делением (Trial division). Этот самый старый алгоритм разложения на множители состоит из проверки каждого простого числа, меньшего или равного ква дратному корню из раскладываемого числа.

В качестве хорошего введения в различные алгоритмы разложения на множители, кроме NFS, можно и с-пользовать [251]. NFS лучше всего рассмотрен в [953]. Более старыми рпаботами являются [505, 1602, 1258]. Сведения о параллельном разложении на множители можно найти в [250].

Если число n на множители раскладывается, то эвристическое время выполнения самых быстрых вариантов QS асимптотически равно:

e (1+O (1))(ln( n )).12(ln((ln(n)))12

NFS намного быстрее, оценка его эвристического времени выполнения:

e(1.923+O (1))(ln( n))13(ln((ln(n )))23 e

В 1970 году большой новостью стало разложение на множители 41-разрядного трудного числа [1123]. ("Трудным" является такое число, у которого нет маленьких множителей, и которое не обладает специальной формой, позволяющей упростить процесс.) Десять лет спустя разложение в два раз более длинного числа заняло лишь несколько часов на компьютере Cray [440].

В 1988 году Карл Померанс (Carl Pomerance), используя обычные СБИС, спроектировал устройство для ра з-ложения на множители [1259]. Размер числа, которое можно было разложить, зависел только от размеров ус тройства, которое так и не было построено.

В 1993 году с помощью квадратичного решета было разложено на множители 120-разрядное трудное число. Расчет, потребовавший 825 mips-лет, б1л выполнен за три месяца реального времени [463]. Другие результаты приведены в [504].

Сегодня для разложения на множители используются компьютерные сети [302, 955]. Для разложения 116 разрядного числа Аржат Ленстра (Arjen Lenstra) и Марк Манасс (Mark Manasse) в течение нескольких м е-сяцев использовали свободное время массива компьютеров, разбросанных по всему миру, - 400 mips-лет.

В марте 1994 года с помощью двойной вариации множественного полиномиального QS [66] командой м а-тематиков под руководством Ленстры было разложено на множители 129-разрядное (428-битовое) число. В ы-числения выполнялись добровольцами в Internet - в течение восьми месяцев трудились 600 человек и 1600 ко м-пьютеров, возможно, самый большой в истории многопроцессорный конгломерат. Трудоемкость вычислений была в диапазоне от 4000 до 6000 mips-лет. Компьютеры соединялись по электронной почте, передавая свои результаты в центральное хранилище, где выполнялся окончательный анализ. В этих вычислениях использов а-лись QS и теория пятилетней давности, NFS мог бы ускорить выполнение расчетов раз в десять [949]. В соо т-ветствии с [66]: "Мы делаем вывод, что широко используемые 512-битовые модули RSA могут быть вскрыты организацией, готовой потратить несколько миллионов долларов и подождать несколько месяцев." По оценкам авторов разложение 512-битового числа в 100 раз более трудоемко при использовании той же техники и только в 10 сложнее при использовании NFS и современной техники [949].

С целью развития искусства разложения на множители RSA Data Security, Inc. в марте 1991 года объявило о