программе RSA Factoring Challenge (состязание RSA по разложению на множители) [532]. Состязание состоит в разложении на множители ряда трудных чисел, каждое из которых является произведением двух простых чисел примерно одинакового размера. Каждое простое число было выбрано конгруэнтным 2 по модулю 3. Всего было предложено 42 числа, по одному числу в диапазоне от 100 до 500 разрядов с шагом 10 разрядов (плюс одно д о-полнительное, 129-разрядное число). К моменту написания этой книги RSA-100, RSA-110, RSA-120, и RSA-129 были разложены на множители, все с помощью QS. Следующим (с помощью NFS) может быть RSA-130, или чемпионы по разложению на множители сразу возьмутся за RSA -140.

Данная область развивается быстро. Технику разложения на множители трудно экстраполировать, так как невозможно предсказать развитие математической теории. До открытия NFS многие считали, что любой метод разложения на множители не может асимптотически быть быстрее QS. 0ни были неправы.

Предстоящее развитие NFS, по видимому, будет происходить в форме уменьшения константы: 1.923. Для ряда чисел специальной формы, таких как числа Ферма, константа приближается к 1.5 [955, 954]. Если бы для трудных чисел, используемых в сегодняшней криптографии, константу тоже можно было снизить до этого уровня, то 1024-битовые числа раскладывались бы на множители уже сегодня. 0дним из способов уменьшить константу является обнаружение лучших способов представления чисел как полиномов с маленькими коэфф и-циентами. Пока еще проблема не изучалась достаточно эффективно, но возможно решающий успех уже близок

[949].

Последние результаты программы RSA Factoring Challenge можно узнать, отправив запрос по электронной почте по адресу challenge-info@rsa.com.

Квадратные корни по модулю n

Если n - произведение двух простых чисел, то возможность вычислить квадратные корни по модулю n вычислительно эквивалентна возможности разложить число n на множители [1283, 35, 36, 193]. Другими словами, тот, кто знает простые множители числа n, может легко вычислить квадратные корни любого числа по модулю n, но для любого другого вычисление окажется таким же трудным, как и разложение на простые множители числа n.

11.5 Генерация простого числа

Для алгоритмов с открытыми ключами нужны простые числа. Их нужно множество для любой достаточно большой сети. Прежде, чем обсуждать математику генерации простого числа, я отвечу на несколько очевидных вопросов.

Если каждому понадобится свое простое число, не иссякнет ли у нас запас? Нет. В действительности сущес т-вует приблизительно 10151 простых чисел длино1 до 512 бит включительно. Для чисел, близких n, вероятность того, что случайно выбранное число окажется простым, равна 1/ln n. Поэтому полное число простых чисел, меньших n, равно n/(ln n). Во вселенной всего 1077 атомов. Если бы для каждого атома во вселенной с начала времен каждую микросекунду требовался бы миллиард простых чисел, понадобилось бы только 10 109 простых чисел, осталось бы еще примерно 10151 простых чисел.

Что если два человека случайно выберут одно и то же простое число? Этого не случится. При выборе из 10151 простых чисел вероятность совпадения выбора значительно меньше, чем вероятность, что ваш компь ю-тер случайно вспыхнет в тот самый момент, когда вы выиграете в лотерею.

Если кто-то создаст базу данных всех простых чисел, не сможет ли он использовать эту базу данных для вскрытия алгоритмов с открытыми ключами? Нет. Если бы вы хранили один гигабайт информации на устро й-стве, весящем один грамм, то перечень простых чисел размером до 512 бит включительно весил бы столько, что масса хранилища превысила бы предел Чандрасекара, и оно сколлапсировало бы в черную дыру ... в любом случае вы не сможете извлечь данные.

Но если так трудоемко разложение на множители, как может быть простой генерация простых чисел? Фокус в том, что ответить "да" или "нет" на вопрос "Является ли число n простым?" гораздо проще, чем ответить на более сложный вопрос "Каковы множители n?"

Генерация случайных чисел с последующей попыткой разложения их на множители - это неправильный сп особ поиска простых чисел. Существуют различные вероятностные проверки на простоту чисел, определяющие, является ли число простым, с заданной степенью достоверности. При условии, что эта "степень достоверности" достаточна велика, такие способы проверки достаточно хороши. Я слышал, что простые числа, генерированные таким образом называются "промышленно простыми числами": эти числа вероятно являются простыми с ко н-тролируемой возможностью ошибки.

Предположим, что одна проверка из 250 - ошибочна. Это означает, что с вероятностью 1/10 15 проверка объявит простым составное число. (Простое число никогда не будет объявлено составным при проверке.) Если по

какой-то причине понадобится большая достоверность простоты числа, уровень ошибки можно понизить. С другой стороны, если вы установите вероятность того, что число является составным, в 300 миллионов раз меньшей, чем вероятность выиграть главный приз в государственной лотерее, вы можете больше об этом не волноваться.

Обзоры недавних исследований в этой области можно найти в [1256, 206]. Другими важными работами я в-ляются [1490, 384, 11, 19, 626, 651, 911].

Solovay-Strassen

Роберт Соловэй (Robert Solovay) и Фолькер Штрассен (Volker Strassen) разработали алгоритм вероятностной проверки простоты числа [1490]. Для проверки простоты числа p этот алгоритм использует символ Якоби:

(1) Выберите случайно число a, меньшее p.

(2) Если НОД(a,7) (1, то p не проходит проверку и является составным.

(3) Вычислите j = a(p-1)/2 mod p.

(4) Вычислите символ Якоби J( a,/;).

(5) Если j J(a,/7), то число p наверняка не является простым.

(6) Если j = J(a,/7), то вероятность того, что число p не является простым, не больше 50 процентов.

Число a, которое не показывает, что p наверняка не является простым числом, называется свидетелем. Если p - составное число, вероятность случайного числа a быть свидетелем не ниже 50 процентов. Повторите эту проверку t раз с t различными значениями a. Вероятность того, что составное число преодолеет все t проверок, не превышает 1/2t.

Lehmann

Другой, более простой тест был независимо разработан Леманном (Lehmann) [903]. Вот последовательность действий при проверке простоты числа p:

(1) Выберите случайно число a, меньшее p.

(2) Вычислите a(p-1)/2 mod p.

(3) Если a(p-1)/2 1 или -1 (mod p), то p не является простым.

(4) Если a(p-1)/2 = 1 или -1 (mod p), то вероятность того, что число p не является простым, не больше 50 процентов.

И снова, вероятность того, что случайное число a будет свидетелем составной природы числа p, не меньше 50 процентов. Повторите эту проверку t раз. Если результат вычислений равен 1 или -1, но не всегда равен 1, то p является простым числом с вероятностью ошибки 1/ t.

Rabin-Miller

Повсеместно используемым является простой алгоритм, разработанный Майклом Рабином (Michael Rabin), частично основанным на идеях Гэри Миллера [1093, 1284]. По сути, это упрощенная версия алгоритма, рек о-мендованного в предложении DSS proposal [1149, 1154].

Выберите для проверки случайное число Вычислите b - число делений p - 1 на 2 (т.е., 2b - это наибольшая степень числа 2, на которое делится p - 1). Затем вычислите m, такое что p = 1 + 2b * m.

(1) Выберите случайное число a, меньшее p.

(2) Установите j = 0 и z = am mod p.

(3) Если z = 1 или если z = p - 1, то p проходит проверку и может быть простым числом.

(4) Если j > 0 и z = 1, то p не является простым числом.

(5) Установите j = j + 1. Если j < b и z( p - 1, установите z = z2 mod p и вернитесь на этап (4). Если z = p - 1, то p проходит проверку и может быть простым числом.

(6) Если j = b и z p - 1, то p не является простым числом.

В этом тесте вероятность прохождения проверки составным числом убывает быстрее, чем в предыдущих. Гарантируется, что три четверти возможных значений a окажутся свидетелями. Это означает, что составное число проскользнет через t проверок с вероятностью не большей (1/4)t, где t - это число итераций. На самом деле и эти оценки слишком пессимистичны. Для большинства случайных чисел около 99.9 процентов возмо ж-

ных значений a являются свидетелями [96].

Существуют более точные оценки [417]. Для n-битового кандидата в простые числа (где n больше 100), вероятность ошибки в одном тесте меньше, чем 4n22 . И для 256-битового n вероятность ошибки в шести тестах меньше, чем 1/251. Дополнительную теорию можно найти в [418].

Практические соображения

В реальных приложениях генерация простых чисел происходит быстро.

(1) Сгенерируйте случайное n-битовое число p.

(2) Установите старший и младший биты равными 1. (Старший бит гарантирует требуемую длину простого числа, а младший бит обеспечивает его нечетность.)

(3) Убедитесь, что p не делится на небольшие простые числа: 3, 5, 7, 11, и т.д. Во многих реализациях пров е-ряется делимость p на все простые числа, меньшие 256. Наиболее эффективной является проверка на д е-лимость для всех простых чисел, меньших 2000 [949]. Это может быть эффективно выполнено с помощью колеса [863].

(4) Выполните тест Rabin-Miller для некоторого случайного a. Если p проходит тест, сгенерируйте другое случайное a и повторите проверку. Выбирайте небольшие значения a для ускорения вычислений. Выполните пять тестов [651]. (0дного может показаться достаточным, но выполните пять.) Если p не проходит одной из проверок, сгенерируйте другое p и попробуйте снова.

Иначе, можно не генерировать p случайным образом каждый раз, но последовательно перебирать числа, н а-чиная со случайно выбранного до тех пор, пока не б удет найдено простое число.

Этап (3) не является обязательным, но это хорошая идея. Проверка, что случайное нечетное p не делится на 3, 5 и 7 отсекает 54 процента нечетных чисел еще до этапа (4). Проверка делимости на все простые числа, меньшие 100, убирает 76 процентов нечетных чисел, проверка делимости на все простые числа, меньшие 256, убирает 80 процентов нечетных чисел. В общем случае, доля нечетных кандидатов, которые не делятся ни на одно простое число, меньшее n, равна 1.12/ln n. Чем больше проверяемое n, тем больше предварительных вычислений нужно выполнить до теста Rabin-Miller.

0дна из реализаций этого метода на Sparc II способна находить 256-битовые простые числа в среднем за 2.8 секунды, 512-битовые простые числа - в среднем за 24.0 секунды, 768-битовые простые числа - в среднем за 2.0 минуты, а 1024-битовые простые числа - в среднем за 5.1 минуты [918].

Сильные простые числа

Если n - произведение двух простых чисел, p и q, то может понадобиться использовать в качестве p и q сильные простые числа. Такие простые числа обладают рядом свойств, которые усложняют разложение пр о-изведения n определенными методами разложения на множители. Среди таких свойств были предложены [1328, 651]:

Наибольший общий делитель p - 1 и q - 1 должен быть небольшим.

И p - 1, и q - 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа, соответственно и q. И p - 1, и q - 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа. И p + 1, и q + 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа.

И (p - 1)/2, и (q - 1)/2 должны быть простыми [182). (0братите внимание, при выполнении этого условия в ы-полняются и два первых.)

Насколько существенно применение именно сильных простых чисел, остается предметом продолжающихся споров. Эти свойства были разработаны, чтобы затруднить выполнение ряда старых алгоритмов разложения на множители. 0днако самые быстрые алгоритмы одинаково быстры при разложении на множители любых чисел, как удовлетворяющих приведенным условиям, так и нет [831].

Я против специальной генерации сильных простых чисел. Длина простых чисел гораздо важнее их структ у-ры. Более того, сама структура уменьшает случайность чи сла и может снизить устойчивость системы.

Но все может измениться. Могут быть созданы новые методы разложения на множители, которые лучше р а-ботают с числами, обладающими определенными свойствами. В этом случае снова могут потребоваться сил ь-ные простые числа. Заглядывайте в журналы по теоретической математике.