ориентирован под неким третьим углом. Однако такое измерение оказывается совершенно бесполезным, потому что все прошедшие через -поляризатор фотоны, оказываются поляризованными в точности под углом потеряв при этом какую бы то ни было информацию о своей предыдущей поляризации под углом а. Конечно, если известно, что луч состоит из нескольких одинаково поляризованных фотонов, то для того, чтобы получить более одного бита информации относительно их общего угла поляризации, можно для разных фотонов сделать различные измерения.

Другими словами, можно было бы надеяться узнать более одного бита информации об одиночном фотоне, не измеряя напрямую угол его поляризации, а скорее так или иначе расширить один фотон до ансамбля из одинаково поляризованных фотонов, чтрбы впоследстЕщи выполнщь.над ними различные измерения. Однако эта надежда также оказывается тщетной, потому что существование такого ансамбля, как это можно показать, не согласуется с основными положениями квантовой механики [361].

Формально в квантовой механике внутреннее состояние квантовой системы (такое, как поляризация фотона) представляется в виде вектора единичной длины в линейном пространстве над полем комплексных чисел, то есть в так называемом гильбертовом пространстве. Размерность этого гильбертова пространства зависит от самой системы и может быть довольно большой (или даже бесконечной) для более сложных систем. Каждое физическое измерение, которое может выполняться в системе, соответствует некоторому разложению гильбертова пространства на ортогональные подпространства, каждое из которых отвечает одному из возможных результатов этого измерения. Таким образом, число возможных результатов измерения ограничено размерностью d рассматриваемого гильбертова пространства. Наиболее полными измерениями являются такие, которые соответствуют разложению гильбертова пространства на d одномерных подпространств.

Гильбертово пространство для одиночного поляризованного фотона является 2-мерным. Таким образом, состояние фотона может быть полностькх описано в виде линейной комбинации, к примеру, двух единичных векторов ri = (1,0) и г2 = (0,1), пред-ставляюшдх соответственно горизонтальную и вертикальную по-

ляризации. В частности фотон, поляризованный под углом а к горизонтали, описывается вектором состояния (cos а, sin а). В том случае, когда такой фотон подвергается измерению на предмет горизонтальности или вертикальности своей поляризации, то в действительности он как бы выбирает, стать ли ему горизонтально поляризованным с вероятностью cos а и вертикально поляризованным с вероятностью sin а. Два ортогональных вектора ri и г2, таким образом, служат примером разложения 2-мерного гильбертова пространства на 2 ортогональных одномерных подпространства. С этого момента мы будем говорить, что г1 и Г2 составляют прямоугольный базис рассматривгюмого гильбертова пространства.

Другой возможный базис того же гильбертова пространства задается двумя диагональными векторами di - (1;1-) и с?2 = (1,-1). В этом диагональном базисе di представляет фотон, поляризованный под углом 45°, а с?2 - фотон с поляризацией под углом 135°. Два базиса (например, прямоугольный и диагональный) называются сопряженным, если каждый вектор одного базиса имеет проекции одинаковой длины на все векторы другого базиса. Попросту говоря, это означгьет, что система, подготовленная в данном состоянии в одном из таких базисов, будет вести себя совершенно непредсказуемо и потеряет всю информацию о себе, отражающуюся в этом базисе, после того, как подвергнется измерению, которое соответствует другому базису.

Благодаря сложной природе своих коэффициентов, двумерное гильбертово пространство допускает также третий базис, сопряженный и с прямоугольным и с диагональным базисами и состоящий из двух векторов так называемой круговой поляризации Cl = (1, г) и с2 = («, 1), где г.= yf-i. Тем не менее для обоснования рассматриваемого в следующем параграфе квантового распределения открытых ключей нам понадобятся только прямоугольный и диагональный базисы.

С практической же точки зрения достаточно понимать только, что имеются два простых прибора. Один из этих приборов может различать горизонтально поляризованные фотоны от вертикально поляризованных, а другой может различать фотоны с разной диагональной поляризацией. Однако если первый прибор используется для определения состояния диагонально поляризованного фотона (а второй - для прямоугольно поляризо-

ванного), то в такой ситуации фотон поведет себя совершенно случайным и непредсказуемом образом, и подобное измерение вообще не позволит определить угол его поляризации. На практике эти устройства очень несовершенны, но их можно построить так, что они почти никогда не будут приводить к неправильному ответу, хотя иногда могут и не дать ответ вообще. Так, например, прибор, который был разработан для того, чтобы различать фотоны с двумя типами прямоугольной поляризации, мог бы отвечать: «фотон был вертикально поляризован», «фотон был горизонтально поляризован», или «я не могу сообщать, как был поляризован фотон». Если входящий фотон был действительно поляризован прямоугольно, то любой из первых двух ответов будет почти наверняка правильным, тогда как третий не предоставляет абсолютно никакой информации.

§ 3. Квантовое распределение открытых ключей

Цель квантового распределения открытых ключей заключается в том, чтобы, используя квантсЗЬый канал, обеспечить передачу последовательности случайных битов между двумя пользователями, которые до этого не имели никакой совместно используемой и секретной для других информации. Достигается это таким способом, что пользователи, следяище за их диалогом по обычному, не квантовому, каналу связи (допускающему прослушивание без каких бы то ни было ограничений) могут с большой вероятностью определить, была ли нарушена такая первоначальная квантовая передача информации во время ее перехвата в канале. (Подобное достоинство, которое присуще исключительно квантовому каналу, фактически вынуждает сводить любой тип прослушивания к активной фальсификации.)

Если квантовая передача не нарушалась, то пользователи могут с уверенностью применять эту совместную секретную последовательность в качестве исходного секретного ключа в любой традиционной криптосистеме (наподобие одноразового шифра - см. § 3.2) для того, чтобы скрыть содержание всей последующей свяи. В качестве альтернативы она может использоваться также для других криптографических целей, требуюыщх совместной секретной случайной информации, например, для ау-тентификационных меток Вегмана-Картера, которые основаны