А теперь возникает вопрос, существует ли некая связь между Igx и logjox. К счастью, она действительно существует. Из (9) и (12) следует, что

logiox=logio(2) = (lga;)(logio2).

Таким образом, Igx = logjo a;/logio 2- В общем виде эта формула выглядит следующим образом:

l0g6C

Соотношения (11), (12) и (14)-это фундаментальные правила вьтолнения операций с логарифмами.

Оказывается, в большинстве случаев ни 10, ни 2 не являются идеальным основанием логарифма. Но если взять в качестве основания действительное число е = 2.718281828459045..., то логарифмы приобретают более простые свойства. Логарифмы с основанием е принято называть натуральными логарифмами; при этом используется следующая запись:

lnx = logeX. (15)

Это нестрогое определение (в сущности, мы даже не определили число е) вряд ли позволит читателю почувствовать особую "натуральность" (т. е. естественность) такого логарифма; но по мере работы с натуральными логарифмами 1пх они будут казаться нам все более естественными. Фактически натуральные логарифмы были введены Джоном Непером (John Napier) (в несколько видоизмененном виде и вне связи со степенями) еще до 1590 года, за много лет до того, как стали известны другие виды логарифмов. Следующие два примера, рассматриваемые {х,1/х) в любом учебнике по теории вычислений, проливают свет на то, почему логарифмы Непера за- (i-O)

служили название "натуральных", (а) На рис. 6 Рис. 6. Натуральный логарифм, площадь заштрихованной области равна 1пх.

(Ь) Если банк выплачивает сложные проценты по ставке г, начисляемые каждые полгода, то прибыль на каждый доллар составит (1+г/2)2 долларов; если начисление происходит каждый квартал, то вы получите (1+г/4)* долларов; если же начисление происходит каждый день, то вы получите (1 + г/365) долларов. Если бы проценты начислялись непрерывно, то вы получили бы в точности е долларов на каждый доллар (если не учитывать ошибку округления). В нашу компьютерную эпоху многие банки уже фактически достигли в своей работе этой предельной формулы.

История возникновения и развития понятий "логарифм" и "степень" приводится в ряде интересных статей Ф. Кэджори (F. Cajori), AMM 20 (1913), 5-14, 35-47, 75-84, 107-117, 148-151, 173-182, 205-210.

В заключение этого раздела выясним, как вычислять логарифмы. Один способ непосредственно вытекает из соотношения (7): если положить Ь = у и возвести все части этого соотношения в степень 10*, то для некоторого целого ш получим

Таким образом, все, что нам нужно сделать для получения логарифма у, - возвести у в эту огромную степень и найти такое ш, чтобы результат лежал между ш- и т + 1-й степенями Ь. Тогда искомый результат будет равен с точностью до

fc-ro десятичного знака.

Если несколько модифицировать этот явно непрактичный метод, получим простую и удобную процедуру. Сейчас мы покажем, как вычислить logo х и выразить результат в двоичной системе:

logiox = n + bi/2 + b2/i + b3/8+ (if)

Сначала сдвинем десятичную точку в числе х влево или вправо, чтобы получить 1 < х/10" < 10; таким образом мы определим целую часть числа logjox, т. е. п. Чтобы найти значения bi, 621 • • 1 положим хо = а;/10" и для fc > 1 получим

bk==0, Хк = х1 , если < 10;

6fc = 1, = a; i/10, если x j > 10.

Корректность этой процедуры следует из того, что

для fc = о, 1,2,..., а это можно легко доказать по индукции.

На практике мы должны проводить вычисления только с конечной точностью, поэтому нельзя считать равенство Xk - а; точным. На самом деле можно считать, что Xk = х только приближенно с точностью до некоторого десятичного знака. Например, приведем расчеты для logjo 2, выполненные с точностью до четырех значащих цифр:

и т. д.

Погрешность вычислений приводит к росту и распространению ошибок; так, например, истинное округленное значение хю равно 1.798. Накопление ошибок в конечном счете приведет к.тому, что big будет вычислено неточно, и мы получим двоичное представление (0.0100110100010000011.. .)2, соответствующее десятичному представлению 0.301031..., а не истинному значению, которое дается в равенстве (10).

Для каждого подобного метода необходимо оценивать величину погрешности вычислений, возникающей из-за ошибок округления. В упр. 27 устанавливается верхняя граница погрешности; а если проводить вычисления с точностью до четырех чисел после десятичной точки, как было показано в примере выше, то получим гарантию, что значение логарифма будет вычислено с погрешностью, не превышающей 0.00044. Первоначально полученное значение логарифма является более точным потому, что значения хо, xi, Х2 и хз были вычислены точно.

Приведенный метод прост и довольно интересен, но, скорее всего, это не самый лучший способ вычисления логарифмов на компьютере. Еще один метод описан в упр. 25.

УПРАЖНЕНИЯ

1. [00] Чему равно наименьшее положительное рациональное число?

2. [00] Может ли выражение 1 + 0.239999999 ... быть десятичным представлением действительного числа?

3. [02] Чему равно (-3)-?

► 4. [05] Чему равно (0.125)-/?

5. [05] Мы определили действительные числа в терминах десятичного представления. Подумайте, как можно определить их в терминах двоичного представления, и приведите аналог соотношения (2).

6. [10] Пусть X = т + O.didi ... п у = п + O.eiea ... -действительные числа. Сформулируйте правило, которое на основе десятичного представления позволяет определить, какое из неравенств верно: х = у, х < у или х > у.

7. [М23] Для заданных целых чисел х п у докажите правила возведения в степень на основе определения (4).

8. [25] Пусть m - целое положительное число. Докаэл;ите, что у любого положительного действительного числа и есть единственный положительный корень т-й степени, описав метод последовательного вычисления элементов десятичного представления этого корня: n,di,d2,....

9. [М23] Для заданных рациональных чисел х vl у докажите правила возведения в степень, предполагая, что эти правила выполняются для целых чисел i и у.

10. [18] Докажите, что logjo 2 не является рациональным числом.

► 11. [10] Если 6 = 10 и X й logio 2, то сколько десятичных знаков числа х нужно знать, чтобы определить три первых десятичных знака в десятичном представлении 6? [Замечание. Можете использовать результаты упр. 10.]

12. [02] Объясните, почему равенство (10) следует из равенств (8).

► 13. [М23] (а) Пусть х-положительное действительное число, а п - положительное целое число. Докажите неравенство У\ + х - 1 < i/n. (b) Используйте полученный результат для доказательства утверждения, следующего за соотношением (7).

14. [15] Докажите равенство (12).

15. [10] Докажите или опровергните следующее равенство:

logba:/y = logji - logj)/ при х,у>0.

16. [00] Как можно выразить logjo ж через In а; и In 10?

► ir. [05] Чему равны lg32, log,, к, Ine, logj 1 и logb(-l)?

18. [10] Докажите или опровергните следующее равенство: \ogx=\\gx.

► 19. [20] Поместится ли целое число п, десятичное представление которого состоит из 14 цифр, в компьютерном слове емкостью 47 бит плюс бит знака?

20. [10] Существует ли простое соотношение, связывающее logjo 2 и log2 10?

21. [15] {Логарифмы от логарифмов.) Выразите logj logj i через Inlni, 1п1п6 и 1пЬ.