ситуациях необходимо принять некоторые меры. [Например, см. Т. М. Apostol, Mathematical Analysis (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1957), Chapter 12. Достаточным условием справедливости соотношения (5) для любой перестановки целых чисел p{j) является сходимость kjl-

с) Изменение порядка суммирования:

R(i) SU) S(j) R(i)

Давайте рассмотрим очень простой частный случай этого равенства:

й(г) j=l H(t)

Е Е = Е°1 +Е°2-

j=l R{i) R(i) R(i)

Согласно (7) правые части данных соотношений равны, т. е.

J2(bi+Ci)Ybi + £ci, (8)

mi) «а д(й

где bi = an, а Ci = Ui.

Операция изменения порядка суммирования очень полезна, так как часто простое выражение для суммы "у известно, а для суммы J2s(j) °У -Необходимость в изменении порядка суммирования возникает также в более общем случае, когда соотношение S{j) зависит и от г, и от j. В подобной ситуации его можно обозначить через S{i,j). Изменение порядка суммирования всегда можно выполнить, по крайней мере теоретически, следующим образом:

Е Е = Е Е

R(i) S(iJ) S(j) R(i,j)

где S{j) означает, что "существует целое г, такое, что справедливы как Щг), так и S{i,j)"; а R{i,j) означает, что "верны как R{i), так и S{i,j)". Например, если вычисляется сумма S}=i Оу> то условие S{j) звучит так: "существует целое г, такое, что 1 < г < п и 1 < j < г", т. е. 1 < j < п, а R{i,j) превращается в условие 1 < г < п и 1 < j < г, т. е. j < г < п. В результате получаем

i=i j=i j=i i=j

[Замечание. Как и в случае (Ь) (замена индекса), операция изменения порядка суммирования не всегда справедлива для бесконечных рядов. Если ряд абсолютно сходится, т. е. если сходится 1]д{г) "su) то можно показать, что равенства (7) и (9) верны. Кроме того, если одно из соотношений R{i) и S{j) определяет конечную сумму в (7) и каждая бесконечная сумма сходится, то операция изменения порядка суммирования также законна. В частности, для сходящихся бесконечных сумм соотношение (8) всегда справедливо.]

d) Манипуляции областью суммирования. Если R{j) и S{j)-произвольные соотношения, то имеем

Налример, если 1 < m < п, то

Е + Е °J = ( Е + (12)

l<j<m m<j<,n l<j<n

Здесь область R{j) и 5(j)" просто принимает вид j = т", поэтому вторая сумма свелась только к одному слагаемому В большинстве случаев равенства (11)

или соотношения R{j) и S{j) одновременно выполняются только для одного-двух значений j либо вообш,е не существует таких j, для которых справедливы и R{j), и S(j). В последнем случае вторая сумма в правой части равенства (11) просто исчезает.

А теперь, когда мы изучили четыре основных правила вьшолнения операций над суммами, давайте рассмотрим примеры их использования.

Пример 1.

Oj = Oj + Oj согласно правилу (d)

0<j<n 0<j<n 0<j<n

J четное jнечетное

= a2j + 0.2J+1 согласно правилу (b)

0<2j<n 0<2j+l<n

2j четное 2j+l нечетное

= E J2 +

0<><n/2 0<j<n/2

Ha последнем щаге вьшолняется упрощение соотношений, находящихся под знаками суммы.

Пример 2. Пусть

п i п п

Si = aiCj = aiaj согласно правилу (с) [см. (lO)j

i=0 j=0 j=0 j=j

n n

= uiuj согласно правилу (b).

Здесь выполнена замена г на j и использован тот факт, что ajCj = аа. Обозначая последнюю сумму через S2, имеем

2Si = 5i + 52= Е ( + E

n / / n ч

i=0 \ \j=0 /

= EE°°j + E°°i

i=0 1=0

i=o / \j=o /

(e«?)

Vi=o /

\i=o /

согласно (8)

согласно правилу (d) [см. (12)]

согласно (8) согласно правилу (а) согласно правилу (Ь).

Таким образом, мы получили важное тождество:

ЕЕ-о Е°0 + Е°?

i=0 j=0

Vi=o /

(13)

Пример 3 {Сумма геометрической прогрессии). Предположим, что ж 1, п > 0. Тогда

а + аж +----h аж" =

аж-"

аж-"

0<j<n

= „+ s

l<j<n

= а + ж Е аа;

l<j<n

= а + ж

аж-"

по определению (2) согласно правилу (d)

согласно частному случаю правила (а)

согласно правилу (Ь) [см. (6)]

0<j<n-l

= а + ж Е ~ ах согласно правилу (d).

0<j<n

Сравнивая первое и последнее выражения, получаем

(1-ж) ах =а-ах"+;

0<j<n

отсюда следует важная формула

/1-ж"+Ч

0<j<n

1 - Ж /