И. [OS] Чему равна правая часть формулы (14) при х = 1?

12. [10] Чему равнасумма1+ ++33+• + (i)"?

13. [0] Используя формулу (15) и предполагая, что тп < п, вычислите сумму

14. [11] Используя результат предыдущего упражнения, вычислите сумму I2=mI2fc=r

► 15. [М22] Вычислите сумму 1 х 2+2 х 2+3 х 24------п2" для малых значений п. Заметили

ли вы какую-либо закономерность в этих числах? Если нет, постарайтесь обнаружить ее с помощью действий, аналогичных тем, которые применялись при выводе формулы (14).

16. [М22] Не применяя метод математической индукции, докажите, что

V" . пх"+-{п + 1)х" + +х-

(г -1)2 j=0

если X ф1.

► 17. [МОО] Пусть 5 - множество целых чисел. Чему равна сумма Xjgs

18. [М20] Покажите, как изменить порядок суммирования в равенстве (9), если R(i) - это соотношение "п кратно г", а S{i,j)-это соотношение "1 < j < г".

19. [20] Чему равна сумма XJ(aj - aj i)?

► 20. [25] Д-р Матрица* обнаружил удивительную законо.мерность:

9x1 + 2 = 11, 9x12 + 3 = 111, 9 X 123 + 4 = 1111, 9 х 1234 + 5 = 11111.

a) Запишите это великое открытие доктора с помощью знака суммы .

b) В вашем ответе к п. (а), без сомнения, фигурирует число 10 как основание десятичной системы. Обобщите полученную формулу так, чтобы ее можно было применять для любого основания Ь.

c) Докажите формулу из п. (Ь) с помощью формул, выведенных в тексте раздела или в упр. 16.

► 21. [М25] Выведите правило (d) из правил (а) и (с) с помощью обозначения Айверсона (16).

► 22. [20] Сформулируйте аналоги равенств (5), (7), (8) и (11) для произведений.

23. [10] Объясните, почему целесообразно определить Хду Oj и Пд() как нуль и единицу соответственно, если соотношению R{j) не удовлетворяет ни одно целое число.

24. [20] Предположим, что/?(j) верно только для конечного числа j. Индукцией по числу целых чисел, удовлетворяющих R{j), докажите равенство log;, Пдо)j = J) при условии, что все aj > 0.

► 25. [15] Есть ли ошибка в следующей цепочке преобразований?

1=1 / Vj = l / l<<n i.<j<n J 1<"<п 1<1<п = 1

26. [25] Покажите, что с помощью соотношений из упр. 22 ПГ=о П]=оJ можно выразить через ПГ=о*-

* В оригинале - I. J. Matrix. - Прим. переь.

27. [М20] Обобщите результат упр. 1.2.1-9, доказав неравенство

П(1-а,)>1-Х2«>

при условии, что о < а, < 1.

28. [М22] Найдите простую формулу для П7=2 - /i)-

> 29. [МЗО] (а) Выразите сумму Yl=o 53j=o 531=о>* используя способ записи с нес-рксами, который приведен в конце данного раздела. (Ь) Выразите эту же

колькивш индексами, ки-х-ирын приведи»! в кинцс ДОННШ-и сумму через Е."=о"<. ЕГ=о"< и ЁГ=о"? М- формулу (13)]

30. [М23] (Ж. Бине (J. Binet), 1812.) Не пользуясь индукцией, докажите тождество

Vi=i / / v>=i / Vj=i / i<j<*<n

[У этого тождества есть важный частный случай: если положить Uj = Wj, bj = Zj, xj = Wj, yj = Zj, TO для произвольных комплексных чисел wi, Wn, zi, г„ выполняется равенство

М=1 / Vj=i / i=i i<i<*<n

Члены \wjZk - WkZjf неотрицательны, поэтому знаменитое неравенство Коши-Шварца

является следствием формулы Вине.]

31. 1М20] С помощью формулы Бине выразите сумму li<j<;t<„(«j k){vj - Vk) через

32. \М20\ Докажите, что

п m

П Е"-- = Е "Mi-ain-

i = l i=l l<ii ,...,in<m

33. [Af50] Однажды вечером д-р Матрица открыл формулы, которые можно считать еще более замечательными по сравнению с формулами, приведенными в упр. 20:

= 0, = 0,

Докажите, что эти формулы являются частными случаями более общего закона. Покажите, что если х\,Х2, -.. ,Хп - различные числа, то

п / I \ Г если О < г < п - 1;

ЕЙ/ П есяиг = п-1;

j=i V / i<fcn z tirj=ij, если г = п.

34. [М25] Для произвольного х и 1 < m < п докажите, что

П1<г<п,г#ш(Д + -) *=1 1\.\<г<п,тфЛ ~ ")

Например, если п = 4 и m = 2, то

х{х-2){х-Ъ) {х + \){х-\){х-2) {х + 2)х{х-\) {х + Ъ){х + \)х (-1)(-2)(-3) (1)(-1)(-2) (2)(1)(-1) (3)(2)(1)

35. [НМ20] Запись 8ирду aj применяется для обозначения точной верхней грани элементов aj\ при этом используется тот же принцип, что и в случае применения знаков "J" и "П"- (Если R{j) выполняется только для конечного числа j, то вместо записи зирд aj часто используется запись тахд() Oj.) Покажите, как нужно видоизменить правила (а), (Ь), (с) и (d) для выполнения операций с этим обозначением. В частности, рассмотрите аналог правила (а)

(suPH(i) Oi) + (supsy) bj) = 8ирд(;)(5ир5у) (Oi + bj))

и дайте соответствующее определение «ирд Oj для случая, когда R{j) не выполняется ми для одного j.

УПРАЖНЕНИЯ (часть 2)

Матрицы и определители (детерминанты). Приведенные ниже задачи предназначены для читателя, который имеет хотя бы общее представление об определителях и элементарной теории матриц. Детерминант можно вычислить, комбинируя определенным образом следующие операции: (а) вынесение общего множителя из строки или столбца; (Ь) прибав-.пение кратного одной строки (или столбца) к другой строке (или столбцу); (с) разложение по элементам какой-либо строки (или столбца). Простейший и наиболее часто используемый вариант операции (с) относится к случаю, когда все элементы первой строки или первого столбца - нули, за исключением элемента в левом верхнем углу, который равен -t-1. Тогда первая строка и первый столбец просто вычеркиваются и вычисляется определитель оставшейся части матрицы, а это уже определитель меньшего порядка. В общем случае под алгебраическим дополнением элемента Uij определителя порядка п х п понимают помноженный на (-1)" определитель порядка (п - 1) х (п - 1), который получается в результате вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых находится элемент а,у. Тогда определитель матрицы равен - алгебраическое дополнение (а;у),

причем один из индексов (г либо j) фиксируется, а суммирование выполняется по другому индексу, который пробегает значения от 1 до п.

Егаи {bij)-это матрица, обратная матрице (oij), то каждый ее элемент bij равен алгебраическому дополнению Uji (а не atj), деленному на определитель всей матрицы.