Значения таких многочленов степени, не превышающей п - 1, совпадают в п различных точках X, поэтому они совпадают и при х = 0. Следовательно,

t = l А/, /

42. п/{х + пу).

43. 1 - П*=1(~/*)- Это легко проверить, если какое-либо значение х, равно 1, так как обратная матрица к любой матрице, строка либо столбец которой состоит из одних единиц, должна содержать элементы, сумма которых равна 1. Если ни одно из х, не равно единице, просуммируем элементы г-й строки, как в упр. 44, и получим ПД*"!)/ ИкьЛк-х,). Теперь можно просуммировать это выражение по г, используя упр. 33 для г = О (умножая числитель и знаменатель на (х, - 1)).

44. Применив упр. 33, находим

с, = ЕЬ = П(+2/о/ П

1=1 *=1 / \<к<п

Хк)-

Поэтому

ус -у-" + (г/1 + --- + уп)х;- + ---)

= (Xl -I- Х2 -I- • • • -I- Хп) -I- (j/l -I- J/2 -I- • • -Н Уп)-

45. Пусть X, = г, j/j = j - 1- Из упр. 44 следует, что сумма элементов обратной матрицы равна (1 -I- 2 -I- • -I- га) -I- ((п - 1) -I- (п - 2) -Ь • -I- 0) = га. А из упр. 38 получаем, что элементами обратной матрицы являются

, {-!)+(i + n-iy. и+ 71-1)1

" (i + j- l){i - 1)!0 - !)!(" - г)! - зУ

Это выражение можно записывать различными способами с помощью биномиальных коэффициентов, например

Ш(;)(:)(7)(:)=<-«-С:!Г)(гг)Г»"-7)(;)-

Из последней формулы видно не только то, что b,j является простым числом, но и то, что оно делится на г", га, i+j-1, i + n-1, j + n - 1, n - i+1 vin- j + 1. Ho, пожалуй, самой удачной формулой для b,j является

<--"CtfTr(l":/)(1"-7)-

Нам было бы чрезвычайно трудно решить данную задачу, если бы мы не поняли, что матрица Гильберта-это частный случай матрицы Коши. Оказывается, более общую задачу решить намного проще, чем ее частный случай! Часто имеет смысл обобщить задачу до ее "индуктивного замыкания", т. е. до минимального обобщения, которое включало бы в себя все частные случаи, возникающие при попытке провести доказательство по индукции. В данном случае алгебраические дополнения элементов матрицы Коши тоже являются матрицами Коши, но алгебраические дополнения элементов матрицы Гильберта не являются матрицами Гильберта. [Более подробную информацию об этом можно найти в J. Todd, J. Res. Nat. Bur. Stand. 65 (1961), 19-22.]

46. Для любых целых A;i,2,,.., А; положим e{ki,...,km) = sign(n]<,<j<m(*j - к,)), где signx = [х>0] - [х<0]. Если {h,...,lm) получается из {ki,...,km) в результате перестановки значений А;, и i;, то имеем 6(/i,... ,1т) = -€(A;i,... ,кт)- Отсюда следует ра венство det(jBti = €(A;i,... ,A:m) det если ji < • < j„, - это числа A;iA;m, залисанные в порядке неубывания. Теперь из определения детерминанта получаем, что

det{AB)= Е e(i,--,m)(Eaub*h) ... (Еа,п,Ьы„)

- OUl ат*:„ Е «(b--,m)b»M(i bfcU

l<*:i,. .,*:m<n l<(l, ,lm<m

l<*:i, ..,*m<n

E €(A;i,...,A;,„)aui ...am*„ det(Bji

1<*1.....*:m<m

E det(Aj, ..j„)det(B,,...j„).

1<J1< - <Jm<n

И наконец, если два индекса равны, то det(Aji...j„) = 0. [J. de TEcole Polytechnique 9 (1813), 280-354; 10 (1815), 29-112. Бине и Коши представили свои статьи в один и тот же день 1812 года.]

47. Пусть a,j = (ni=i(+Pt))(n!t=j+i(> + 9*))- Вычтем (А;-1)-й столбец из А:-го столбца и вынесем рк- - qk, где А; = п, п - l,...,j + l (именно в этом порядке), а j = 1, 2,... ,п - 1 (именно в этом порядке). После вынесения останется произведение П1<г<<п(Р ~ умноженное на det(b,j), где b,j = Yl-j+iii + qk)- Теперь из А;-го столбца вычтем (А; + 1)-й столбец, умноженный на qk+j, где к=:1, ...,n-j,&j = l, ...,п - 1. В результате получим det(c,j), где с, - х"~\ что, в сушности, определяет матрицу Вандермонда. Продолжая преобразования, как в упр. 37, т. е. выполняя операции уже не над столбцами, а над строками, получим

det(a,j) = П ~

l<i<j<n

Для Р] = qj - Vj, где 1 < j < га, матрица из этого упражнения является матрицей Коши, г-я строка которой умножена на П"=1 (i+J/j )• Поэтому данный результат обобщает упр. 38, так как добавляется га -1 независимых параметров. [Manuscripta Math. 69 (1990), 177-178.]

РАЗДЕЛ 1.2.4

1. 1, -2, -1, О, 5.

2. [xJ.

3. По определению [xJ -наибольшее целое число, меньшее или равное х, поэтому [xJ - такое целое, для которого [xJ < х и [xJ -Н 1 > х. Последние свойства и тот факт, что для целых чисел тип неравенство m < га выполняется тогда и только тогда, когда m < га - 1, позволяют легко доказать пп. (а) и (Ь). Для доказательства пп. (с) и (d) используются аналогичные рассуждения. И наконец, пп. (е) и (f)-это просто комбинации предыдущих утверждений.

4. Так как х - 1 < [xJ < х, то -х --1 > - [xJ > -х, откуда следует нужный результат.

5. [х J. Значение (-х округленное) будет равно значению -(х округленное), за ис-

ключением случая, когда х mod 1 = 5. В последнем случае отрицательные значения

округляются по нaпpaвлeню к нулю, а положительные - в противоположном от нуля направлении.

е. Утверждение (а) верно?\[-У] = га -J= га < х < (га + 1) -J= п? < [х\ < (га + 1) •=> [\/[xJ J = га. Аналогично доказывается справедливость утверждения (Ь). Но утверждение (с) неверно, например, для х = 1.1.

7. [х + у\ = [[xJ-1-xmodl-l-Lj/J-l-J/modlJ = [xJ-I-[j/J-I-mod 1-I-J/mod 1J. Для функции "потолок" выполняется неравенство со знаком ">", причем равенство достигается тогда и только тогда, когда либо х или у - целое, либо х mod 1 + у mod 1 > 1.

8. 1, 2, 5, -100.

9. -1, О, -2.

10. 0.1, 0.01, -0.09.

11. X = у.

12. Все.

13. +1, -1.

14. 8.

15. Умножаем обе части равенства (1) на г; при у - О доказательство очевидно.

17. В качестве примера рассмотрим свойство А применительно к умножению. Для некоторых целых диг имеем a = b + qm и х = у + гт, поэтому ах = Ьу+ (Ьг + уд + qrm)m.

18. Для некоторого целого к имеем а - 6 = fcr, а также /сг = О (по модулю s). Тогда согласно свойству В = О (по модулю s), поэтому а - 6 = qsr для некоторого целого q.

20. Обе части сравнения умножаем на а.

21. Согласно ранее рассмотренному упражнению существует по меньщей мере одно такое представление Если предположить, что существует два представления, п = р\ . - Рк - qi - qm, то получаем, что gi... = О (по модулю pi). Поэтому, если ни одно из чисел 5, не равно pi, то, согласно свойству В их все можно сократить и получить в результате 1 = 0 (по модулю Pl). Но это невозможно, так как pi не равно 1. Поэтому некоторое qj равно Pl и ra/pi = Р2 . • .Pfc = q\ . qj-iqj+i . ..qm- Теперь, если га - простое число, теорема доказана; в противном случае можно доказать по индукции, что эти два разложения числа ra/pi на простые множители одинаковы.

22. Пусть т = ах, где а > 1 и х > 0. Тогда ах = О, но х О (по модулю т).

24. Свойство А всегда справедливо для операций сложения и вычитания; свойство С справедливо всегда.

26. Если 6 не кратно р, то - 1 кратно, поэтому один из сомножителей должен делиться на р.

27. Произвольное число взаимно просто с р" тогда и только тогда, когда оно не кратно р. Поэтому, сосчитав числа, не кратные р, получим (р{р) = - Р~-

28. Если а и Ь взаимно просты с т, то и аЬ mod m взаимно просто с т, так как любое простое число, делящее аЬ mod ткт, должно также делить а или 6. А теперь пусть числа XI,... ,x{,ri), меньшие т, взаимно просты с т; заметим, что axi mod m,..., ахт) mod т - это те же самые числа, но взятые в ином порядке, и т. д.

29. Докажем (Ь). Если г ± s и fc делит rs, то найдется такое простое р, что делит га. Поэтому р делит, предположим, г и не делит s; следовательно, р делит г. Таким образом, /(rs) - О тогда и только тогда, когда /(г) = О или /(s) = 0.