к г. Айзенштайну (G. Eisenstein), Crelle 28 (1844), 246-248; в этом же томе журнала Айзенштайн дает несколько различных доказательств данного, а также других законов взаимности.

48. (а) Очевидно, что при га < О это тождество не всегда верно; но легко проверить, что оно справедливо при га > 0. (Ь) [(га + 2 - [7i/25j)/3j = [(га - [га/25])/31 = [(га + [-ra/25l)/3] = [[24ra/25l/3] = [8га/25] = [(8га + 24)/25j . Предпоследнее равенство доказано в упр. 35.

49. Так как /(0) = /(/(0)) = /(/(0) + О) = /(0) + /(0), то /(га) = га для всех целых га. Есяи /(i) = fc < О, то fc = firfi - fc)) = /(т:(/() - fc)) = /(0) = 0. И если f(i) = О, то /() = /(/(1 + ;)) = /(;) = о и для 1 < m < га индукцией по т можно доказать, что /() = /(/()) = /() = О, где а = [га/т]. Поэтому, так как /() < О, то /(х) = [х\ для всех рациональных х. С другой стороны, если /() > О, то функция д{х) = -/(-х) удовлетворяет условиям (i) и (ii) и р() = 1 - /(i) < 0; поэтому /(х) = -д{-х) - - [-xj = [х] для всех рациональных х. [Р. Eisele, К. Р. Hadeler, АММ 97 (1990), 475-477.]

Но отсюда не следует, что /(х) = [xj или [х" для всех действительных значений х. Если, например, h{x)-это произвольная функция, удовлетворяющая условиям h{l) = 1 и h{x + J/) = h{x) + h{y) для всех действительных х и у, то функция /(х) = [/i(x)J удовлетворяет условиям (i) и (ii). Но при О < х < 1 функция h{x) может быть неограниченной и достаточно непредсказуемой [G. Hamel, Math. AnnaJen 60 (1905), 459-462].

РАЗДЕЛ 1.2.5

1. 52!. Для тех, кого это интересует, данное число равно 806 58175 17094 38785 71660 63685 64037 66975 28950 54408 83277 82400 00000 00000 (!).

2. Рпк = Pn(t-i)(ra - fc -Н 1). После размещения первых га - 1 объектов для последнего объекта остается только одна возможность.

3. 53124, 35124, 31524, 31254, 31245; 42351, 41352, 41253, 31254, 31245.

4. Всего в этом числе 2 568 цифр. В старшем разряде стоит цифра 4 (так как logio 4 = 2 logio 2 и .602). В младшем разряде стоит цифра нуль, и из (8) следует, что в младших 249 разрядах стоят все нули. Точное значение 1000! было вычислено Г С. Улером (Н. S. Uhler) с помощью арифмометра и многолетнего терпения и опубликовано в Scripta Mathematica 21

(1955), 266-267. Это число начинается цифрами 402 38726 00770 ----Последнюю точку в

этой истории поставил Джон В. Ренч (мл.) (John W. Wrench, Jr.), когда перемножил числа 750! и niTsiкомпьютере UNIVAC I "за рекордно короткое время - 21/2 минуты". В наше время на любом персональном компьютере можно легко вычислить 1000! в течение доли секунды и убедиться в том, что полученное Улером значение на 100% верно.

5. (39902)(97/96) и 416 + 39902 = 40318.

6. 2*-3*-5-71ЫЗ-17 19.

8. Этот предел равен limm-»c» m"m!/((ra-l-m)!/n!) = га! Iimm nx3 m"/((m-l-l)... (m+ra)) = ra!, так как m/(m + к) 1.

9. у/к и -2у/к. (Использовано упр. 10.)

10. Да, за исключением случаев, когда х - отрицательное целое или равно нулю. Действительно,

Г(х4-1) = Х lim -;--т-;-г- -г).

m-.oox(x-l-l)...(a;-l-m) \хН-тН-1/

11, 12. р = (akp" + ---+ai) + (akp" + + Ui) + + ak

= ak{p- ... -Hp1) ... + ai = (a*,(p* - 1) -H • • • -I- ao(p° - l))/(p - 1) = {n-ak-----ai - ao)/(p - 1).

13. Для каждого га, 1 < га < р,определите га, как в упр. 1.2 4-19. Согласно свойству 1.2.4D существует ровно одно такое ri, и (га) = га. Поэтому мы можем разбить числа на пары при условии, что га ф га. Еслцга = га, то га = 1 (по модулю р). Следовательно, как и в упр. 1.2.4-26, га = 1 или га = р - 1. Поэтому (р - 1)! = 1 • 1... 1 • (-1), так как 1 и р - 1 - это единственные элементы, не имеющие пары.

14. Среди чисел {1,2, ...,п}, ме кратных р, существует [ra/pj полных наборов из р - 1 последовательных элементов, произведение которых сравнимо с -1 (по модулю р) (по теореме Вильсона). Помимо этого, остается еще ао элементов, произведение которых сравнимо с ао! (по модулю р); поэтому вклад от сомножителей, не кратных р, составляет (-1)-"-ао!. Вклад от сомножителей, которые кратны р, является таким же, как вклад в L"/pJ-Повторяя эти рассуждения, получим искомую формулу.

15. (га!). В формуле содержится га! членов. В каждом члене присутствует по одном} элементу из каждой строки и каждого столбца, поэтому его значение равно (га!).

16. Члены суммы не стремятся к нулю, так как коэффициенты стремятся к 1/е.

17. Запишите гамма-функции в виде пределов по формуле (15).

„Уга-i n+i- Г(1)Г(1) -22-

[Принадлежащее Валлису эвристическое "доказательство" можно найти в книге D. J. Struik Source Booi: in Mathematics (Harvard University Press, 1969), 244-253.]

19. Сделаем замену переменных t = mf, проинтегрируем по частям и проведем доказательство по индукции.

20. [Для полноты картины докажем неравенство, сформулированное в условии задачи. Начнем с легко проверяемого неравенства 1 + х < е. Положим х = ±t/n и возведем обе части неравенства в га-ю степень; в результате получим (1 ± f/ra)" < е*. Следовательно, e- > (1 - t/ra)" = el - Ь/пе > el - t/n)(l -I- </га)" = e-(l - tVra)" > el - t/n) (cm. упр. 1.2.1-9).]

Теперь отнимем от заданного интеграла Тт(х) и получим

При m - 00 первый из этих интегралов стремится к нулю, так как для больших f имеем t~ < е, а второй интеграл меньше, чем

т Jo т Jo

21. Если обозначить соответствующий коэффициент через c{n,j, fci, fcg,. •.), то после дифференцирования находим

c(ra-l-l,j,fci,...) = c{n,j-l,ki-l,k2,.. .) + iki + l)c{n,j,ki + l,k2-l,k3,...)

+ {k2 + l)c{n,j,ki,k2 + l,k3-l,k4,...) +

Заметим, что после осуществления шага индукции соотношения ki + к2 + = j и fci -I-2к2 + = га сохраняются. Коэффициент ra!/(fci! (1!)*г(2)* ) можно вынести из каждого члена правой части соотношения для с(га-I- 1, j, fci,...); в результате останется ki + 2к2 + Зкз + = п + 1. (Доказательство удобно проводить в предположении, что существует бесконечно много к,, хотя очевидно, что fcn+i = кп+2 = - 0.)

В приведенном доказательстве использовались стандартные методы, но оно не дает удовлетворительного объяснения по поводу того, почему формула имеет такой вид и как

она была открыта. Попробуем ответить на этот вопрос с помощью доказательства методами комбинаторики, предложенного Г. С. Воллом (И. S. Wall) [Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 395-398]. Для удобства введем обозначения Wj = Diw, Uk = Du. Тогда Dx{wj) = Wj+iui и Dx(uk) - Uk+i. Используя эти два соотнощения и правило дифференцирования произведения, получим

Diw = wiui

DW = (tD2UlUl + W1U2)

dIw = ((wauiuiui + W2U2U1 + W2U1U2) + {W2U1U2 + W1U3)) и т. д. По аналогии можно построить соответствующую таблицу для разбиений множеств: V = {1}

Р = ({2}{1} + {2,1})

2? = (({3}{2}{1} + {3,2}{1} + {2}{3,1}) + ({3}{2,1} + {3,2,1})) и т. д.

Если aia2 ... Oj -разбиение множества {1,2,...,га - 1},то формально определим

Vaia2 .. .UJ = {ra}aia2 ... Uj + (ai U {n})a2 .. .Uj

+ ai{a2 и {га}) ...aj +----h aia2 ... (a U {ra}).

Это правило -точная копия правила дифференцирования

DxiWjUriUr2 . . . Urj ) = Wj + lUlUriUr2 • • «rj + WjUrj+lUrj ...Ur

+ WjUriUr2 + l . . . Urj H-----1- WjUrjUrj . . . Ur,+1,

если члену WjUrUrz . - Ur поставить в соответствие разбиение aia2 .. - uj с Г( элементами в at, 1 < t < J. Поэтому существует естественное отображение V в D"w и легко видеть, что V" содержит каждое разбиение множества {1,2,..., га} ровно один раз (см. упр. 1.2.6-64).

Таким образом, если сгруппировать одинаковые члены в то получим сумму

членов видас(А:1, /сг, •.. )wjulU2 ..., где = fci4-2-1----ига = ki+2k2-\----, ac(/ci,/c2,.. ) -

это число разбиений множества {1, 2,..., га} на j подмножеств, таких, что существует kt подмножеств, состоящих из t элементов.

Осталось подсчитать эти разбиения. Рассмотрим множества, состоящие из kt ящиков емкостью t.

kl -

Число способов помещения п различных элементов в ячейки - это полиномиальный коэффициент

{ " \

V1,1,..., 1,2,2,..., 2,3,3,..., 3,4,... у 1!*12!*=3!*з...

Чтобы получить c(fci, /С2, кз, - .), нужно разделить это выражение на /с]! /сг! /сз! • • , так как ячейки в каждой группе ki не отличаются одна от другой и их можно переставить /с(! способами, не оказывая никакого влияния на разбиение множеств.

Оригинальное доказательство Арбогаста [Du Calcul des Derivations (Strasbourg, 1800), §52] основывалось на том факте, что Du/k - это коэффициент при г* в выражении