а это уже позволяет вычислить значение суммы

27. Чтобы получить (26), умножаем ряд для ж+7((* + 1) " на ряд для х и получаем ряд для x"/{{t + 1)х - t), в котором коэффициенты при Z нужно приравнять к соответствующим коэффициентам ряда для ж"""*""7((* + 1) ~

28. Обозначив левую часть через f(r,s,t,n), с помощью тождества

y-fr + tk\/s-tk\ г .fr + tk\/s-tk\ tk \

к )(n-j + E( , )[п-к)7ТГк=-

находим

CV) «/(-t-l,s + t,t,n-l) = fir, s, t, n).

• (fc) a=- =(-1)"/ П - •)•

0<j<n

30. Применяя (7), (6) и (19), получаем j¥k

E/-m-2fc-l4/2fc-H4(-l)"-" n-m-fc/V fc /2fc-t-l

Теперь можно применить (26), заменив (r,s,f,n) - (l,m -2n-1, -2,n -m). Тогда получим

(-1)-( - ) =

Vn - то/ Vn - то/

Для положительного n этот результат совпадает с формулой, полученной в тексте, но при п = О наш результат справедлив, а (l)-нет. Данное решение имеет еще одно преимущество: ответ {2Zl„) справедлив для п > О и для всех целых т.

31. [Эта сумма была впервые получена в замкнутой форме И. Ф. Пфаффом (J. F. PfafF), JVova Acta Acad. Scient. Petr. 11 (1797), 38-57.] Имеем

ЕЕ("-г)(°::г)(™/»-,)()

~4-v 3 )\ n-k JU + n-ja k-3 )

~ i /VTO-t-n-j/V n-j /

Заменив (""j ) на ("" ) и снова применив (20), получаем

•fm - r + s \ 3 J \mJ \ n- 3

32. в формуле (44) замените х значением -ж.

33, 34. [Giornaie di Mat. Ba.tta.glmi 31 (1893), 291-313; 33 (1895), 179-182.] Имеем ж" = п С""). Следовательно, наше соотношение можно преобразовать следующим образом:

/ж4-у-1-п-1\ (x-\-{\-z)k\ (у-\ + nz-\-{n-k){l-z)\ х

[ п /"vv к )\ п-к Jx + {l-z)k

а это частный случай (26). Аналогично (ж + у)- = Y,k (Г)( - kz - 1)-{у + kz)-, что эквивалентно формуле Роте [Formula de Serierum Reverstone (Leipzig, 1793), 18].

35. Например, докажем перву1в.,.,формулу:

(-1) \ к к 1 ) ~пх- + XX- = х-.

36. Из (13), предполагая, что п - неотрицательное целое, для искомых сумм получим значения 2" и бно соответственно.

37. Для п > О эта сумма равна 2""\ (Четные и нечетные члены взаимно уничтожаются, поэтому сумма как четных, так и нечетных членов равна половине общей суммы.)

38. Положим ш = е""/". Тогда

0<j<m t 0<j<m

Так как

о; = то [г = 0(по модулю то) ]

0<j<m

(это сумма геометрической прогрессии), сумма справа равна то (") Первона-

t mod m=fc

чальная сумма слева равна

п/2-*)

x cud - i Ш

m /

0<j<m 0<j<m

Поскольку известно, что эта величина действительна, можем взять действительную часть и получить искомую формулу.

Случаи m = 3 и то = 5 имеют особые свойства, описанные в CMath, упр. 5.75 и 6.57.

39. nl; S„o -Sni- (Суммы чисел из строк второго треугольника выглядят уже не так просто; далее (в упр. 64) мы увидим, что {1} -это число способов разбиения множества из п элементов на непересекающиеся подмножества, т. е. число отношений эквивалентности на множестве {1, 2,..., п}.)

40. Доказательство (с). Интегрируя по частям, получим

в(х +1, у) = JmilL Ч - г *-(1 - ty dt.

у о у Jo

А теперь применим (Ь).

41. тВ(ж, то + 1) -+ Г(ж) при то -+ оо. Достаточно рассмотреть только целые значения то (в силу монотонности). Следовательно, {т + у)В{х, то + у + 1) -4 Г(ж) и {т/{т + у)У -+ 1.

42. 1/((г + 1)В{к + 1, г - к + 1)), если В{х,у) определено согласно упр. 41, (Ь). В общем случае, если z и w - произвольные комплексные числа, определим

С ) = lim lim ---, где С! = Г(С + 1);

это значение равно бесконечности, если z - отрицательное целое и ги не является целым числом

При таком определении свойство симметрии (6) выполняется для всех комплексных п и А; за исключением случаев, когда п - отрицательное целое и к -целое. Соотношения (7),

(9) и (20) справедливы всегда, хотя иногда они могут быть неопределенными, например О 00 или 00 + 00 Соотношение (17) принимает вид

fz \ sm7r(u; - z - l)/w-z - 1\ \wj 81П7Гг \ w J

Можно распространить на область комплексных чисел даже биномиальную теорему (13) и свертку Вандермонда (21) Тогда получим Х)*, (а+*)«°* = (1 + и («+*) (в-к) = (q+s) " формулы выполняются для всех комплексных г, s, z, а и /3, при которых ряд сходится, если степени комплексных чисел определены соответствующим образом [См L Ramshaw, Inf Proc Letters 6 (1977), 223-226]

43. /о dt/{f{l - ty/) = 2J du/il - uyi-" = 2 arcsm ujj = тг 45. Для больших г получаем щщ j-kW (кТГ)

47. При к<0 каждый элемент тождества равен Sko и умножается на (г-/г)(г--/г)/(/г+1), когда к заменяется на /г + 1 При г = - отсюда следует, что {~\) = (-1/4)*

48. Это можно доказать по индукции, воспользовавшись тем, что при п > О

o=E(:)<-.) = E(I)-E©ti

к к к

Другой способ имеем

В(х, n + \) = f t-\l - tr dt = E () (-1)* [ t-

(Фактически наша сумма равна В(ж, п + 1) и для нецелых п, для которых ряд сходится )

50. к-е слагаемое равно ()(-1)"~*(а; - kzYx Примените соотношение (34)

51. Выражение в правой части равно

(п - J - L (":) +)(-+)"""

3<п

Точно так же можно вычислить сумму Торелли (упр 34)

Другое красивое доказательство формулы Абеля получается из того, что эта формула легко преобразуется в более симметричное тождество, приведенное в упр 2 3 4 4-29

Е(")х(х + kzy-y{y + (п - k)zr-- = (X + у){х + у + nzr-\