67. При к > О упр 1 2 5-24 дгьет несколько более точные (но не так легко запоминаемые) оценки сверху () = п-/к < n/к < 7()* < (j)* Соответствующая оценка снизу выглядит так () > (i2:)*i

68. Положим tk = к{1)р{1 -р)"+1-* Тогда tk - tk+i = Ск)рЧ-- РГЧк ~ пр) Поэтому наща сумма равна

Е {tk+l-tk)+ Y1 itk-tk+l) = 2t;npl fc<rnpl *>Гпр1

[Де Муавр сформулировал это тождество в журнале Misceiianea Analytica (1730), 101, для случая, когда пр - целое, А Пуанкаре (Н Ротсагё) опубликовал доказательство общего случая в Calcul des Probabdites (1896), 56-60 Интересную историю этого тождества, а также аналогичные формулы можно найти в работе Р Diaconis, S Zabell, Statistical Science 6 (1991) ]

РАЗДЕЛ 1.2.7

1. О, 1 и 3/2

2. Заменяем каждый член 1/(2™ + к) оценкой сверху 1/2""

3. Hil> , < Ео<к<гп 2V2 верхняя грань 2-7(2- - 1)

4. (Ь) и (с)

5. 9 78760 60360 44382

6. Индукцией с помощью формулы 1 2 6-(46)

7. Т(т + 1,п) - Т{т,п) = 1/(то + 1) - 1/(топ + 1) - - l/(mn + п) < 1/(то + 1) -(1/(топ + п) + + 1/{тп + п)) = 1/(т+ 1) - п/{п1п + п) = о Максимум достигается при m = п = 1, а минимум - при очень больщих тип Согласно (3) точная нижняя грань равна 7, которая в действительности никогда не достигается Обобщение этого результата можно найти в АММ 70 (1963), 575-577

8. По формуле Стирлинга Inn приблизительно равен (п + 5)1пп - п + Inv, сумма 12=1 приблизительно равна (п + 1) In п - п(1 - 7) + (7 + )i разность приблизительно равна 7п + I In п + 158

9. -1/п

10. Разбиваем левую часть на две суммы и во второй сумме заменяем к на к + 1

11. 2 - Нп/п - 1/п для п > О

12. Значение 1 ООО верно с точностью до более чем трехсотого десятичного знака

13. Как и при доказательстве теоремы А, воспользуемся методом индукции Есть и другой способ продифференцировать по ж и вычислить при х = 1

14. См раздел 1 2 3, пример 2 Вторая сумма равна (H+i - Hi)

15. (1/j) 2=j можно просуммировать по формулам, приведенным в тексте В результате получим (п + 1)Н1 - (2п + 1)Я„ + 2п

16. Н2П-1 - \Hn-l

17. Первое решение (элементарное) (Положим знаменатель равным (р - 1), что кратно истинному знаменателю, но не кратно р Тогда достаточно показать, что соответствующий числитель, (р - 1)/1 + (р - 1)/2 + + (р - 1)/(р - 1), является кратным р (р - 1)/А; = (р - \у к по модулю р, где к определяется из соотношения кк modp = 1 Множество {!, 2, , (р - 1)} - это просто множество {1, 2, , р - 1}, поэтому числитель сравним с (р 1)1(1+ 2+ +р-1)=0

Второе решение (более сложное). Из упр. 4.6.2-6 имеем = - х (по модулю р); тогда из упр. 1.2.6-32 получаем [] = Skp - Ski- А теперь применим упр. 6.

Известно, что числитель Цр-1 на самом деле кратен р при р > 3; см. работу Hardy, Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Section 7.8.

18. Если n = 2*771, где m нечетно, то сумма равна 2*7711/7713, где и 77ii, и 7713 нечетны. [АММ 67 (1960), 924-925.)

19. Только при 71 = О, 71 = 1. Для 71 > 2 положим к = [igtij. Существует ровно один член, знаменатель которого равен 2*, поэтому 2*~Я„- 1 является суммой членов, в знаменателе которых содержатся только простые числа. Если бы Нн было целым, то 2*~Яп - 5 имело бы знаменатель, равный 2.

20. Разлагаем подынтегральное выражение и интегрируем почленно. См. также АММ 69 (1962), 239, и статью Н. W. Gould, Mathematics Magazine 34 (1961), 317-321.

21. HU,-H:i,.

22. (71 + 1){Н1 - Я") - 27г(Я„ - 1).

23. r(7i + l)/r(7i + 1) = 1/71 + r(7i)/r(7i), так как Г(ж + 1) = хГ(х). Отсюда Я„ = 7+r(7i+l)/r(7i+l). Функция V(a:) = Г(ж)/Г(ж) = Ях-i-7 называется пси-функцией или дигамма-функцией. Некоторые значения для рациональных х приведены в приложении А.

24. Получаем

-.1» П ((+!).-")-!»

Х(Ж + 1) . . . (ж + 71)

7171!

Замечание. Следовательно, обобщенная величина Н„, рассмотренная в предыдущем упражнении, равна Я"" = Ejt>o(l/( + ~ 4-1 4- хУ) при г = 1. Эту же идею можно использовать для более высоких значений г. Наше бесконечное произведение сходится для всех комплексных х.

РАЗДЕЛ 1.2.8

1. Через к месяцев будет Fjt+2 пар, значит, через год-Fu = 377 пар.

2. \п{ф°°°/\/ъ) - 1000In- I In5 = 480.40711. logn, Fiooo равен предыдущей величине, умноженной на 1/(1п10), т. е. 208.64. Следовательно, Fiooo-это число, состоящее из 209 цифр, первой из которых является 4.

4. О, 1, 5; после этого функция Fn возрастает слишком быстро.

5. О, 1, 12.

6. По индукции. (Это равенство выполняется также для отрицательных п; см. упр. 8.)

7. Если d является собственным делителем п, то Fd делит Fn- Далее, Fd больше единицы и меньше Fn при условии, что d больше 2. Единственное не простое число, которое не имеет собственного делителя, большего 2, - это 7i = 4. Следовательно, единственным исключением является Fi = 3.

8. F-\ = 1; F 2 = -1. Индукцией по п можно доказать, что F „ = (-l)"""Fn.

9. Не выполняется (15). Остальные соотношения справедливы; это можно установить индукцией "назад", т. е. показать, что предположение верно для 7i - 1, если оно верно для п и больших значений.

10. Если п четно, то оно больше, а если п нечетно, то меньше (см. формулу (14)).

11. По индукции (см. упр. 9). Это частный случай упр. 13, (а).

12. EamGiz) = J2Fnz, {1-z-z)g{z) = z +Fqz+Fiz+ = z +zG{z). Отсюда g{z) = G(z) + zG{zf; из- (17) находим .F„ = ((3n + 3)/5)F„ - (n/5)F„+i.

13. (a) On = rFn-i+sFrt, (b) Поскольку (Ьп+2+с) = (bn+i+c) + (bn+c), можем рассмотреть новую последовательность bj, = b„+c. Применяя п. (а) к Ь„, получим cF„ i+(c+l)F„-с.

14. ..=f.„p....(f„«+.)f.(:) - ctj- - ("Г),

15. с„ = хо„ + 2/Ь„ + (1 - x - j/)F„.

16. F„+i. Доказываем по индукции и применяем соотношение

ri-)-{\H-Vr)-

17. Воспользуемся тем, что (х"+* - j/"+*)(x"-* - j/"*"*) - (х" - j/")(x" - j/"*) равно (xj/)"(x"~"~* - j/"~""*)(x* - J/*). в этом соотношении положим х = ф, у = $ к разделим его на (\/5).

18. Да, так как это Fn+i-

19. Пусть и ~ cos72°, г; = cos36°. Имеем и = 2г; - 1, г; = 1 - 2sinl8° = 1 - 2и. Отсюда U + V - 2(v - и), т. е. 1 = 2{v - и) = 2v - 4t; + 2. Следовательно, г; = ф. (Кроме того, и = sin36° = 5/-, sin72° = iS/VO

20. F„+2-l.

21. Умножаем на + x - 1 и находим ответ: (x"+F„+i + x"+F„ - х)/(х + х - 1). Если знаменатель обращается в нуль, т. е. х равно 1/ф или 1/, то решением будет

((п + l)x"F„+i + {п + 2)x"+F„ - 1)/(2х + 1).

22. Fm+2n; в следующем упражнении положите t = 2.

23. (:)(0*№-?0" - FtF-n

= 4=(0"(0Ft +F, i)" - ""(Ft + Ft-i)") = Fm+tn-v5

24. F„+i (разложите определитель по элементам первой строки).

25. 2"/5F„ = (1 + л/5)" - (1 - л/5)".

26. По теореме Ферма 2" = 1; теперь используем предыдущее упражнение и упр. 1.2.6-10(b).

27. Для р = 2 утверждение верно. Для остальных р справедливо соотношение Fp-iFp+i - Fp = -1. Тогда из предыдущего упражнения и по теореме Ферма получаем: Fp iFp+i = О (по модулю р). Только один из этих сомножителей может быть кратным р, поскольку Fp+i = Fp + Fp i.

28. Замечание. Решением рекуррентных соотношений o„+i = Аоп + В", оо = О является

а„ = (А"-Б")/(А-В), если А ф В, ап=пА-\ если А = В.

29. (а) Ц

(Ь) следует из (6). [Ё. Lucas, Amer. J. Math. 1 (1878), 201-204.]