РАЗДЕЛ 1.2.11.2

1. {Bo+Biz+B2zy2\+- )е = {Bo+Biz+B2Z/2\+- )+z; примените формулу 1.2.9-(11).

2. Для того чтобы можно было выполнить интегрирование по частям, функция Bm+i {{х}) должна быть непрерывной.

3. \Rmn\ < \Bm/{my.\S;4f\x)\dx. [Замечания. Вт{х) = {-l)"Bmil - х) и ВггЛх) равно т!, умноженному на коэффициент при г™ в разложении ге7( ~ частности, так как e/ie - 1) = 1/(е"/ - 1) - 1/(е - 1), имеем ВС) = {2" - 1)Вт. Нетрудно доказать, что максимум \Вш - Вш{х)\ для О < i < 1 достигается при х = , когда m четно. А теперь при т = 2к > 4 давайте просто запишем Rm и Сш для величин Rmn

и Стп. Имеем Дт-2 = Cm + Rm = {Вт - Bm{{x)))f"\i) dx/m\ И Вт - Вт{{х]) ЛеЖИТ

между о и (2 - 2~")JBm. Следовательно, Rm-2 лежит между О и (2 - 2~")Ст. Отсюда получаем, что Rm лежит между -Cm и (1 - 2~")Ст (это более сильный результат). Таким образом, видно, что если /""+(1)(i) > О для 1 < i < п, то величины Ст+2 и Ст+4 имеют противоположные знаки, в то время как Rm имеет такой же знак, как Ст+2, Rm+2 имеет такой же знак, как Ст+4, и Дт+2 < Ст+2; это доказывает формулу (13). [См. J. F. Steffensen, Interpoiation (Baltimore, 1937), §14.]

. 1.ГП , Bk ml m-k+i 1 p /„ 1 p

0<ik<n fc=l

к = \/2 lim

22"(n!)

л/"(2п)!

2 ,. 2 n{n-\f...{\f , 2-2-4.4---- „

« ="n(n-l)>-)..(l)=S-3.3.5.--="

6. Пусть с > 0. Рассмотрим сумму Eo<*;<n ( + )- Находим 1п(с(с + 1)... (с + п - 1)) = (п + с) 1п(п + с) - cine - п - i ln(n + с) + 5 Inc

+ 2 jk(fc-l) \,(n + c)=-l с*-!;/"

1<*:<т

Кроме того,

Bm{{x))dx

Ык- П \ пк-1 ) т I.

1<к<т

ln(n-l)! = (n-)lnn-n + .+ Е

Но 1пГ„-1(с) = с1п(п - 1) + 1п(п - 1)! - 1п(с... (с + п - 1)). Выполняя подстановку, при п -» 00 получаем

1пГ(с) = -с + (с-1)1пс + а+ Е -tt-LrMk}}±.

2 А;(А;-1)с*- m (i + с)""

Отсюда следует, что Г(с + 1) = се"* имеет такое же асимптотическое представление, как и с!.

7. „"V2+n/2+i/i2g-nV<t J,дg - константа. Для получения этого результата примените формулу суммирования Эйлера к E=i Чтобы получить более точную формулу,

нужно умножить полученный результат на

ехр(-В4/(2 3 • 4п)-----B2t/{{2t - 2){2t - l)(2t)n-) + 0(l/n)).

Число А называется постоянной Глейшера и равно 1.2824271... [Messenger of Mati. 7 (1877), 43-47]. Эта постоянная, как можно показать, равна

gi/i2-V(-i) (зтге"*)

[de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, §3.7].

8. Мы имеем, например, 1п(ап2 + bn) = 21nn + Ina + ln(l + b/{an)). Поэтому ответом на первый вопрос будет 2оп Inn + а(1па - 1)п + 2bnlnn + 6nlno + Inn + b/{2a) + cr + (За - b)b/{&an)-\-0{n~). При вычислении величины 1п(сп2)! -1п(сп2-n)!-nine-1пп2! + 1п(п2-п)! = (с-1)/(2с)-(с-1)(2с-1)/(6с2п) + 0(п~2) после многочисленных сокращений получим

,е-1)/(2е) 1 (с-1){2с-1)у -2))

Кстати, С)/с"("°) можно записать в виде n"=i4l +aj/{n - J)), где а = 1 - 1/с.

9. (а) Имеем 1п(2п)! = (2п + ) In 2п - 2п + а + 55; + 0(п") и 1п(п!)2 = (2п + 1) In п -2п + 2а + + О(га-З). Следовательно, {) = ехр(2п1п2 - Ьтгп - + 0{п~)) = 2-{пп)-Ц1 - in- + Л.п-+0{п-)). (Ь) Поскольку {:) = 22"("-V2) « (-V) =

Г(п + 1/2)/(пГ(п)Г(1/2)) = пп/у/п, из 1.2.11.1-(16) получаем такой же результат, потому что

Г1/2\ 1 Г 1/2 ] fl/2N , „/3/2\ J ~\2)~ 8 [-3/2] ~ V 4 "V 4 У 128-

Метод (Ь) объясняет, почему все знаменатели в

r2"N 2!1 Л !Li + ZLl! + 5rrf 21n- 399n- 869n-

\ n / V 8 128 1024 32768 262144 4194304 7

имеют степень 2 [Knuth, Vardi, AMM 97 (1990), 629-630].

РАЗДЕЛ 1.2.11.3

1. Проинтегрируйте по частям.

2. Подставляем в интеграл ряд для е~.

3. См. формулу 1.2.9-(11) и упр. 1.2.6-48.

4. 1 + 1/и ограничена кАк функция от v, поскольку она стремится к нулю, когда v пробегает промежуток от г до бесконечности. Замените 1 + 1/ина М, и тогда полученный интеграл будет равен Me

5. Функция f"(x) = /(х)((п + 1/2)(п - 1/2)/х - (2п + 1)/х + 1) меняет знак в точке г = п + 1/2 - v/Tl72, поэтому Д = 0(/;\f"{x)\dx) = 0{j; f"{x)dx - /; f"{x)dx) = 0(/(n) - 2/(r) + /(0)) = Oifin)/).

6. Приведем левую часть к виду п""" ехр((п + ){а/п - о?12г? + 0(п~*))) и т. д.

7. В подынтегральном выражении, представленном в виде ряда по степеням ж", коэффициент при 1~" имеет порядок 0(«2"). После интегрирования члены с х~ будут иметь вид Culx = 0{х~) и т. д. Чтобы получить в ответе точность порядка 0{х~), можно отбросить члены и"/!"" с 4m-n>9 Тогда, разлагая произведение ехр(-«72а;) ех.р{и13х)

в конце концов получим ответ

„V4 у!-1/4 у!-3/4 -1 -5/4 у! -3/2 + f + «(х).

6 40 12 336 36 U456 20У

8. (Решение Миклоша Шимоновица (Miklos Simonovits).) Для достаточно больших х имеем \f{x)\ < X. Обозначим через R(x) - J-((e~9() - е""*)rfu разность между двумя заданными интегралами, где

g{u,x)--=u-x\vi[\ + ulx) и h{u,x)v?llx-v?lix+ ---Л-{-\ТиГ1тх-\

Заметьте, что з(и, i) > О и /г(«, i) > О при \и\ < х\ кроме того,

s(u,x) = ft(u,x) + 0(«"+Va;").

По теореме о среднем значении е" - е = (о - Ь) е для некоторого с, лежащего между

0 и Ь. Поэтому е" - el < о - Ь, если о,Ь < 0. Отсюда следует, что

/•1/(х) / /•Мх- . \

Д(х)</ \g{u,x)-h{u,x)\duo[\

= 0(х<"+=-") = 0{х-).

9. Можем предполагать, что р ф I, так как случай р = 1 описывается в теореме А. Будем считать также, что р ф О, так как случай р = О тривиален.

Случай 1: р < 1. Сделаем подстановку t = рх{\ - и) и обозначим и = - 1п(1 - и) -ри. Так как dv = ((1 - р +ри)/{1 - и)) du, функция v монотонна при О < и < 1 и мы получаем интеграл вида

Jo \l-p + puJ Поскольку выражение в скобках равно (1 - р)~(1 - v{l - р)~ -\----), получаем ответ

г<--"йт«(-(й)-<-->)-

Случай 2: р > 1. В этом случае имеем 1 - ). В последнем интеграле делаем подстановку t = pi(l + и), затем обозначаем v = ри - 1п(1 + «) и продолжаем рассуждения, как в случае 1. В ответе получаем точно такую же формулу, как в случае 1, плюс единица. Заметьте, что ре~ < 1, поэтому {ре") очень мало.

Ответ к упр. 11 дает еще один способ решения данной задачи.

10. (Рв-Пе-. (l - е- - + 0(х-)) .

11. Прежде всего, получим равенство xQin) +Ri/x{n) = п\ (i/n)"e", которое является обобщением (4). Кроме того, получим Rxin) = п\(е/пхГу{п,пх)/{п - 1)!, что является обобщением (9). Поскольку 07(0,1) - 7(0 + 1, i) + e~i", можно записать также Rxin) =

1 + (e"/ni)"7(n+l, пх), тем самым связав эту задачу с упр. 9. Более того, можно непосредственно заняться функциями Qxin) и Rxin), воспользовавшись соотношениями 1.2.9-(27) и (28), чтобы получить разложения в ряд, включающие числа Стирлинга:

l + xQx(n) = E»-K = E

(-l)"*! к

к - т.

х";

яЛп) = ЕхпПп + г)- = Е-={Т

кУО к,т