Эти суммы по к сходятся для фиксированного m при i < 1, а при i > 1 можно воспользоваться соотношением между Qx{n) и Ri/x{n). В результате получим формулы

Д,(п) = - 7г- + • • • + }Г,2!\ + ОС""""), если X < 1; еИ---+ ГГ - (ГЗ + + (1 - х)2"+%- +

П"1" 1-1 (l-l)3n (1-х)2">+%"

Здесь

-(-)=((П>+((7)У+

являются многочленами, коэффициенты которых - эйлеровы числа второго порядка [CMath §6.2; см. L. Carlitz, Proc. Атет. Math. Soc. 16 (1965), 248-252]. Случай х = -1 является несколько более сложным, но здесь можно воспользоваться непрерывностью, так как постоянные из определения 0(п"~") не зависят от х при х < 0. Интересно отметить, что разность R-i{n) - Q-i{n) = (-l)"n!/e"n" « (-1)" VTm/e" крайне мала.

12. 7(Ь x) 2.

13. См. Р. Flajolet, Р. Grabner, Р. Kirschenhofer, Н. Prodinger, J. Computational and Applied Math. 58 (1995), 103-116.

15. Раскрывая подынтегральное выражение с помощью биномиальной теоремы, получим 1 + Q(n).

16. Запишем Q{k) в виде суммы и изменим порядок суммирования с помощью соотношения 1.2.6-(53).

17. Sin) = y/ifi + f - 1/72 - ilsn- + jy/iF/b? + 0(n-). [Заметьте, что Sin + 1) + Pin) = J2k>o fc"~*fc!/"!, в TO время как Q(n) + Д(п) = J2k>o "A

18. Пусть S„(x,y) = E ()(x +A;)*(y-I-n-A;)"~*. Тогда для n > 0 имеем

5„(x,y) = xE* iDix + k)>-Hy + n- A:)"-* + n, {"V)ix + 1 + А:)*(у + n - 1 - A:)""-* = ix + y + n)"+nSn-iix+l,y)

no формуле Абеля 1.2.6-(16). Следовательно,

5п(х,у) = ЕЛ:)*!( + У + п)"-*-

[Эта формула принадлежит Коши, который доказал ее с помощью вычетов; см. его работу (Euvres (2) 6, 62-73.] Значит, исходные суммы равны п"(1 + Q(n)) и (п-Ь 1)"(3(п+ 1) соответственно.

19. Предположим, d существует для всех п > N к \f{x)\ < Mi", где О < i < г. Обозначим F{x) = e~f{t)dt. Тогда при п> N имеем

/г рос

e--\fix)\dx + e-e-e-VWdx

<М Г Jo

j\-(-)-F(j.)dx

<M /""e-""i"di + (n - iV) supF(x) Г e-"-"" dx

Jo x>r Jr*.

= МГ(а + l)n~~"+supF(i)e

= 0(n--").

[E. W. Barnes, Phil. Tr&ns. A206 (1906), 249-297; G. N. Watson, Proc. London Math. Soc. 17 (1918), 116-148.]

20. [C. C. Rousseau, Apphed Math. Letters 2 (1989), 159-161.] Имеем

aoo ЛОО fOO

n) + l=n e-""(l+x)"rfi = n / e-"<"-"<+"»di = n / e-"giu)du, Jo Jo Jo

подставляя u = X - ln(l + x) и полагая g{u) = dx/du. Заметим, что x = JkLi с/с(2и)* для достаточно малых и. Отсюда д{и) - ЕГ=Г/ Cfc(2«)*"* + 0(и""М и можно применить лемму Ватсона к Q(n) + 1 - n/J" е-"" YXZx Jkc,,(2«)*/- du.

РАЗДЕЛ 1.3.1

1. Четыре; тогда байт мог бы содержать 3 = 81 различных значений.

2. Пять, так как пяти байтов хватило бы в любом случае, а четырех - нет.

3. (0:2); (3:3); (4:4); (5:5).

4. Предположительно индексный регистр 4 содержит значение, большее или равное 2 ООО, поэтому после индексирования получится допустимый адрес памяти.

5. "DIV -80.3(0:5)" или просто "DIV -80,3".

6. (а) гА

. (Ь) г12 <г- -200. (с) гХ

. (d) Не

определена; нельзя загрузить такое большое значение в индексный регистр, (е) гХ

7. Пусть п = гАХ-это разрядность регистров А и X до операции, а d = V- разрядность делителя. После операции разрядность гА равна [n/dj, а разрядность гХ равна nmodd. Знак гХ после операции будет таким же, как и предыдущий знак гА. Знаком гА после операции будет "-Ь", если до операции знаки гА и V были одинаковы, и "-" - в противном случае.

Сформулируем это иначе. Если знаки гА и V одинаковы, то гА *г- [rAX/VJ и гХ f-гАХ mod V. В противном случае гА г- [r.X/V] и гХ гАХ mod -V.

8. гА -f-

9. ADD, SUB, DIV, NUM, JOV, JNOV, INCA, DECA, INCX, DECX.

10. CMPA, CMPl, CMP2, CMP3, CMP4, CMP5, CMP6, CMPX. (A также FCMP, если рассматривать операции с плавающей точкой.)

11. MOVE, LDl, LDIN, INCl, DECl, ENTl, ENNl.

12. INC3 0,3.

13. При замене на "JOV 1000" разница будет только во времени выполнения. Команда "JNOV 1001" в большинстве случаев изменяет содержимое rJ. При замене на "JNOV 1000" разница очень велика, так как эта команда может ввести компьютер в состояние выполнения бесконечного цикла.

14. Для NOP все ясно. ADD, SUB с F = (0:0) или если в поле адреса стоит "*" (вместо которой подставляется адрес команды) и F = (3:3); HLT (в зависимости от того, как вы интерпретируете формулировку упражнения); любые команды сдвига, поле адреса и поле индекса которых равны нулю; SLC или SRC с индексом, равным О, и адресом, кратным 10; MOVE с F = 0; JSJ *+1; все команды INC или DEC с адресом и индексом, равным нулю. Но "ENT1 0,1" не всегда можно сделать эквивалентной NOP, так как она может изменить содержимое гИ с -О на +0.

15. 70; 80; 120. (Размер блока, умноженный на 5.)

16. (а) STZ 0; ENT1 1; MOVE 0(49); MOVE 0(50). Если бы было известно, что размер байта равен 100, то понадобилась бы только одна команда MOVE. Но нам не разрешено делать какие-либо предположения о размере байта. (Ь) Используйте 100 команд STZ.

17. (а) STZ 0,2; DEC2 1; J2NN 3000.

(Ь) STZ О ENT1 1 JMP 3004

(3003) MOVE 0(63)

(3004) DEC2 63 J2P 3003 INC2 63

ST2 3008(4:4) (3008) MOVE О

(В немного более быстрой, но совершенно абсурдной программе используется 993 команды STZ: JMP 3995; STZ 1.2; STZ 2,2; ...; STZ 993.2; J2N 3999; DEC2 993; J2NN 3001; ENN1 0,2; JMP 3000.1.)

18. (Если правильно выполнить все команды, то на команде ADD произойдет переполнение, после чего в регистре А окажется нуль со знаком "-".) Ответ. Значение флага перепол-

нения - единица, флага сравнения - EQUAL, содержимое гА- - 30 30 30 30 30 , гХ -

гИ--1-3, а ячеек памяти 0001, 0002--НО (если только сама программа

не начинается в ячейке 0000).

19. 42« = (2--1--2-(-2--1-1-И-1-1-2--2-1-1 + 2-(-2-(-3-1-10 + 10)«.

20. (X. Фукуока (Н. Fukuoka).) (3991) ENTl О

MOVE 3995 (Стандартное значение F для MOVE равно 1.) (3993) MOVE 0(43) (3999 = 93 умножить на 43.)

JMP 3993 (3995) HLT О

21. (а) Нет, если только не занести в него нуль с помощью внешних средств (см. о кнопке "GO" в упр. 26), так как программа может присвоить тЗ i- N только в результате перехода от ячейки N - 1.

(Ь) LDA -1,4 LDX 3004