, 1 о -1

-2 3 -4 -5 -6

-4-3-2-1 О 1 2 3 4

Рис. 7. Функция Г(х) = (х - 1)!. Локальный минимум в точке X имеет координаты (1.46163 21449 68362 34126 26595, 0.88560 31944 10888 70027 88159).

за исключением целых отрицательных, для которых знаменатель в формуле (11) обращается в нуль; в таких случаях п! считается равным бесконечности. В упр. 8 и 22 объясняется, почему формула (13) является обоснованным разумным определением факториала.

Примерно двумя столетиями позже, в 1900 году, Ш. Эрмит (С. Hermite) доказал, что на самом деле формула Стирлинга (12) корректно определяет п! для нецелых п и что фактически обобщения Эйлера и Стирлинга идентичны.

В прошлые века для факториалов использовались самые разные обозначения. Эйлер писал [п], Гаусс (Gauss) - П гг, а в Англии и Италии были популярны символы [п и nj. В наше время для целых п универсальным обозначением факториала является п!; его ввел сравнительно малоизвестный математик Кристиан Крамп (Christian Kramp) в своем учебнике по алгебре [Eiemens dArithmetique Universelle (Cologne: 1808)].

Но для нецелых п запись п! не является общепринятой; в этом случае обычно используется обозначение, которое ввел А. М. Лежандр (А. М. Legendre):

п! = Г(п + 1) = пГ(п). (14)

Функция Т{х) называется гамма-функцией, и из (13) получаем формулу для нее:

Tix) = - = hm -;-

X т-юоа;(а;-Ы)(а: + .2) ... (ж-Ьтп)

График функции Г (ж) показан на рис. 7.

Формулы (13) и (15) определяют факториалы и гамма-функцию как для действительных, так и для комплексных чисел; но если подразумевается переменная,

имеющая и деиствительнзАю; и мнимую части, то Для ее обозначения обычно используется буква z, а не п или х. Связь между факториалом и гамма-функцией выражается не только форму]к)й z\ - Г{г + 1), но и соотношением

<-"«=£

которое выполняется для всех нецелых z (см. упр. 23).

Хотя Г{г) равна бесконечности для отрицательного целого или равного нулю z, функция 1/Г(2;) корректно определяется для всех комплексных z (см. упр. 1.2.7-24). Применяя гамма-функцию в теоретических исследованиях, часто приходится пользоваться интегральным представлением Германа Ганкеля (Hermann Hankel):

nz) = 2it~

причем путь интегрирования в комплексной плоскости идет из - оо по отрицательной части действительной оси, затем огибает начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси X возвращается в -оо. [ZeitscbriR Шг Math, und Physik 9 (1864), 1-21.]

Во многих формулах дискретной математики используются произведения фак-ториального типа, которые называются факториальными степенями. Для положительного целого к величины х- и х* определяются следующим образом:

X* = х(х - 1)... (х - А: + 1) = П (х - j); (18)

х = х{х + 1) ...{х + к - 1) = 1[{х + j). (19)

*-.о

Так, например, величина p„;t из (2)-это просто п-. Заметим, что

X* = (x-f А;-1)* = (-1)*(-х)*. (20)

Общие формулы

х* = 1- *=Е( (21)

{х-к)Г Г(х)

можно использовать для определения факториальных степеней для не целых значений к. [Обозначение х* ввел А. Капелли (А. СареШ) в работе Giomale di Matematiche di Battaglini 31 (1893), 291-313.]

Захватывающая история изучения факториалов со времен Стирлинга до наших дней прослежена в статье Р. J. Davis "Leonhard Eulers integral: A historical profile of the gamma function" AMM 66 (1959), 849-869; см. также работу J. Dutka, Archive for History of Exact Sciences 31 (1984), 15-34.

УПРАЖНЕНИЯ

1. [00] Сколькими способами можно перетасовать колоду из 52 карт?

2. [10] Используя обозначения из соотношения (2), покажите, что p„(„ i) = Pnn, и объясните, почему это так.

3. [10] Какие перестановки чисел {1,2,3,4,5} можно построить из перестановки 312 4 с помощью методов 1 и 2 соответственно?

► 4. [13] Учитывая тот факт, что log 1000! - 2567.60464 ..., определите точно, сколько цифр содержится в числе 1000!. Какая цифра стоит в старшем разряде? Какая в младшем?

5. [15] Оцените значение 8! с помощью следующей более точной приближенной формулы Орфлинга:

6. [17] Используя формулу (8), запишите 20! в виде произведения простых сомножителей.

7. [МЮ] Покажите, что "обобщенная термиальная" функция, оп1>еделенная формулой (10), удовлетворяет тождеству х? = х + {х - 1)? для всех действительных х.

8. [НМ15] Покажите, что предел в формуле (13) равен п! и в том случае, если я- неотрицательное целое число.

9. [МЮ] Определите значения r(i) и Г(-5) на основании того, что ()! = уй-/2.

► 10. [НМ20] Справедливо ли тождество Т{х +1) = хТ{х) для всех действительных чисел х (см. упр. 7)?

11. [М15] Пусть представление числа п в двоичной системе выглядит следующим обра*

зом; 11 = 2" +2" -\-----h 2, где ei > ег > - - > вг > 0. Покажите, что п\ делится на г""

но не делится на 2""".

► 12. [М22] (А. Лежандр, 1808.) Обобщим результат предыдущего упражнения. Пусть р-простое число и предсташление п в системе счисления с основанием р имеет вид я = Ofcp* + afc ip*~ + • + aip + ао. Найдите простую формулу, выражающую число /л из формулы (8) через п, р и коэффициенты ojt,

13. [М23] (Теорема Вильсона (Wilson), на самом деле доказанная Лейбницем в 1682 г.) Если р-простое число, то (р - 1)! modp = р - 1. Докажите это, разбивая элементы из множества {1,2,..., р-1} на пары таких чисел, произведение которых по модулю р равно 1.

► 14. [М28] (Л. Штикельбергер (L. Stickelberger), 1890.) С помощью обозначений из упр. 12 можно определить я! modp в виде предсташления в системе счисления с основанием р для любого положительного целого п, тем самым обобщив теорему Вильсона. Докажите, что nl/p = (-1)ао! ai!... а»! (по модулю р).

15. [НМ15] Перманент квадратной матрицы вычисляется по той же формуле, что и определитель, но каждому члену этой формулы присваивается знак "плюс", в то время как в формуле определителя чередуются знаки "плюс" и "минус". Таким образом, перманент матрицы

/а Ъ с\

def \д Л «/

равен аех + hfg + cdh + gec-\r hfa + idb. Чему равен перманент матрицы

/1x1 1x2 ... 1хп\ 2x1 2x2 ... 2хп

кПх1 пх2 ... ПХПу

16. [НМ15] Покажите, что бесконечная сумма в (11) расходится, если п не является неотрицательным целым числом.