А теперь давайте изучим основные методы работы с биномиальными коэффициентами.

A. Факториальное представление. Из соотношения (3) непосредственно получаем

И)" k\{n-k)V целое п> целогоА>0.. (5)

Эта формула позволяет представлять комбинации факториалов в виде биномиальных коэффициентов, и наоборот.

B. Свойство симметрии. Из соотношений (3) и (5) получаем

(fc)~(n"fc) Це-об п > О,целое fc. (6)

Эта формула справедлива для всех целых fc. Еслп к отрицательно или больше, чем п, то биномиальный коэффициент равен нулю (при условии, что п - неотрицательное целое число).

C. Внесение-вынесение. В силу определения (3) имеем

Эта формула очень полезна для комбинирова1шя биномиального коэффициента с другими частями выражения. Выполнив элементарные преобразования, получаем правила

причем первое из них справедливо для всех целых fc, а второе - если fc и г не равны нулю. Мы имеем также еще одно аналогичное соотношение:

{l) = Vk{~k) -- (8)

Давайте продемонстрируем эти преобразования на примере доказательства формулы (8), используя поочередно формулы (6) и (7):

(fc) " (r-fc) T(r-l-fc) " fc )•

[Замечание. Даяное доказательство имеет силу только в случае, когда г - положительное целое число / fc, так как этого требуют ограничения, наложенные на соотношения (6) и (7). Утверждается, что формула (8) справедлива для произвольного г Ф к. Доказать это можно с помощью простого, но важного приема. Мы убедились в том, что

для бесконечного множества значений г. Обе части этого равенства являются многочленами от г. Ненулевой многочлен степени п может иметь максимум п различных корней. Поэтому, если два многочлена степени < п совпадают в п -Ь 1 яля более различных точках, то, вычитая их один из другого, получим, что эти

многочлены тождественно равны. Данный принцип можно использовать для доказательства того, что многие тождества, верные для целых чисел, справедливы для всех действительных чисел.]

D. Формула сложения. Очевидно, что основное соотношение

выполняется для табл. 1 (каждое значение равно сумме двух значений из преды-душ,его ряда, причем одно находится в том же столбце, а другое - в ближайшем столбце слева) и его можно легко вывести из соотношения (3). Но есть и другой способ. Из формул (7) и (8) получаем

ГГ)-а:;)=(-Ч1)-а)=К1>

Формула (9) часто используется в доказательствах индукцией по г, когда г - целое число.

E. Формулы суммирования. Повторное применение формулы (9) дает

(D=(ii;)+Cfc)=(iii)+(iii)+Cfc)=--

Таким образом, получаем две важные формулы суммирования, которые можно выразить следующим образом:

целое п > 0; (10)

целое тп > О, целое п > 0. (11)

Формулу (11) можно легко доказать индукцией по п, но давайте посмотрим, как вывести ее из формулы (10) в результате двукратного применения соотношения (6),

Е/ \ V" [т + к\ у- /т + к\ /т + к\ Лт) ~ Л т ~ 4- V m J.., V к )

к<п-т

) " (m+l)

0<к<п 0<т+к<п -т<к<0 0<к<п-т

f т + {п -т) + 1

= 0 +

\ п - тп

в предположении, что п >т. Если п < тп, то (11) очевидно.

Формула (11) применяется очень часто; фактически мы уже вывели ее частные случаи в предыдущих разделах. Например, при m = 1 получаем старую добрую

формулу суммы арифметической прогрессии:

(")--"=гг)=п*-

Предположим, нам нужна простая формула для суммы 1 + 2 + • • • + п. Ее можно вывести, если заметить, что = 2(2) + (*); отсюда

Е*-ЕЮ-а))=ч"Г)Ч"Г)-

Эту формулу, выраженную через биномиальные коэффициенты, при желании можно снова записать в виде многочлена:

l + 2 + .-- + n = 2" + );"-4ili±ll = ln(n+i)(n + l). (12)

Аналогично можно получить формулу для суммы 1 -Ь 2 -Ь----h ; и вообще,

любой многочлен типа Л- а\к Л- а2\ Л- Л- ак можно представить в виде 0 (о) + 1 (i) + " + (т) Ьо,.. .,Ьт - соответствующим образом подобранные коэффициенты. Мы вернемся к этому вопросу несколько позже.

F. Биномиальная теорема. Сформулируем биномиальную теорему, которая, бе? сомнения, является одним из наших главных инструментов:

(x + y)- = E()V-, целое г >0. (13f)

Например, (а;-by)* = x +4ху+6ху+4ху+у. (Наконец-то мы можем на законных основаниях использовать термин "биномиальные коэффициенты" для чисел (j)!)

Важно отметить, что в формуле (13) мы записали сумму вида а не Ylk=o как можно было ожидать. Если на к не наложено никаких ограничений, то суммирование производится по всем целым к, -оо < к < +оо. В данном случае две приведенные записи эквивалентны, так как для fc < О или к > г соответствующие члены суммы из формулы (13) обращаются в нуль. Но форма записи более предпочтительна, так как все операции с суммами выполняются проще, когда условия суммирования являются более простыми. Мы существенно сэкономим время и силы, если не будем следить за верхним и/или нижним пределом суммирования; поэтому, по возможности, данные пределы имеет смысл оставлять неопределенными. Выбранный нами тип записи имеет еще одно преимущество: если г не является неотрицательным целым числом, то сумма в формуле (13) становится бесконечной и биномиальная теорема математического анализа утверждает, что соотношение (13) справедливо для всех г, если \х/у\ < 1.

Следует отметить, чтр формула (13) не поотиворечит равенству

0"=1, (14)

которое принимается по определению. Мы везде будем следовать этому соглашению.