Частный случай формулы (13) для у = 1 настолько важен, что сформулируем его отдельно:

Y(Vjx ={1+хУ, целое г > О или а; < 1. (15)

Об открытии биномиальной теоремы Исаак Ньютон объявил в письмах к Оль-денбургу (Oldenburg) от 13 июня и 24 октября 1676 года. [См. D. Struik, Source Book in Mathematics (Harvard Univ. Press, 1969), 284-291.] Ho, no всей видимости, у него не было настоящего доказательства формулы бинома; в те времена исследователи еще не вполне осознавали необходимость строгого доказательства теорем. Леонард Эйлер первым попытался доказать эту формулу в 1774 году, но не довел дело до конца. И наконец в 1812 году Карл Фридрих Гаусс дал первое настоящее доказательство биномиальной теоремы. Работа Гаусса представляла собой фактически первый случай, когда было дано удовлетворительное доказательство чему-либо, связанному с бесконечными суммами.

В начале 19 века Нильс Хенрик Абель (N. Н. Abel) нашел удивительное обобщение формулы бинома (13):

(х -f у)" = E(fc)( " + Ь)"- целое п > О, а; 0. (16)

Это тождество по трем переменным, х, у и z (см. упр. 50-52). Абель опубликовал и дсказал данную формулу в первом томе вскоре ставшего знаменитым журнала А. Л Крелля (А. L. Crelle) Journal fiir die reine und angewandte Mathematik (1826), 159-160. Интересно заметить, что Абель поместил в том же первом томе много других своих работ, включая известную статью о неразрешимости алгебраических уравнений пятой и более высоких степеней в радикалах, а также о биномиальной теореме. Многочисленные ссылки в связи с формулой (16) можно найти в статье Н. W. Gould, AMM 69 (1962), 572.

G. Обращение верхнего индекса. Основное тождество

непосредственно следует из определения (3), если каждый член числителя взять с противоположным знаком и умножить на (-1). Такое преобразование верхнего индекса используется довольно часто.

Простым следствием соотношения (17) является формула суммирования

к<п

Это тождество можно доказать по индукции с помощью формулы (9), но мы непосредственно воспользуемся соотношениями (17) и (10):

1:(1)<-)=Е(-г)-(":")=<-"ГГ)-

к<п к<п

Для целого г можно получить еще одно важное следствие формулы (17):

f = (-Х)"-™ ("(""Л , целое n > О, целое т. (19)

\mJ \ п-т J

(Положите в (17) г = п и к = п - т и воспользуйтесь формулой (б).) Таким образом, мы переместили п из верхней позиции в нижнюю.

H. Упрощение произведений. Произведения биномиальных коэффициентов можно выразить несколькими различными способами, расписывая их через факториалы по формуле (5) и снова возвращаясь к записи для биномиальных коэффициентов. Например,

(m)(T) = Q)(m-fc) (2

Формулу (20) достаточно доказать для г - целого > т (см. примечания после формулы (8)) и О < < т. Тогда

/ г \ /т\ г\т\ r!(r-fc)! (\ (~\

\т)\к) ~ т\(г-т)\к\{т-к)\ ~ к\ {г-к)\{т-к)\{г-т)\ ~ \к) \т-к)

Формула (20) очень полезна в случаях, когда индекс (а именно - т) находится и в верхней, и в нижней позициях, а нам нужно, чтобы он был только в одном месте. Обратите внимание, что (7) является частным случаем (20) при fc = 1.

I. Суммы произведений. Чтобы набор операций с биномиальными коэффициентами был полным, приведем следующие общие тождества, которые доказываются в конце данного раздела. Эти формулы показывают, чему равны суммы произведения двух биномиальных коэффициентов при различных положениях индекса суммирования fc:

У{ " М ) = { \

\m + kJ\n + kJ \г-т + п/

целое т, целое п, целое г > 0; (22) E(I)Cn)(-l)"=(nlJ целое п, целое г >0; (23)

целое t > О, целое г > О, целое m > 0; (24)

Y>/r-fc\/s-bfc\ / r + s + 1 \ jV т )\ п )~\m + n + l)

целое п > целое s > О, целое гп > О, целое г > 0; (25)

Самым важным из этих тождеств является соотношение (21). Чтобы облегчить его запоминание, можно интерпретировать правую часть как количество способов выбора п человек среди г мужчин и s женщин, а каждый член суммы слева- как количество способов выбора к мужчин и п - к женщин. Тождество (21) обычно называют сверткой Вандермонда, поскольку А. Вандермонд (А. Vandermonde) опубликовал его в журнале Мет. Acad. Roy. Sciences Paris (1772), 489-498. Но на самом деле это тождество уже было приведено в трактате Чжу Ши-Цзе от 1303 года, о котором упоминалось выше [см. J. Needham, Science ancf Civilization in China 3 (Cambridge University Press, 1959), 138-139].

Если в тождестве (26) г = tk, то мы избегаем появления нуля в знаменателе, сокращая на (г - tk) и числитель, и знаменатель. Поэтому (26) является полиномиальным тождеством от переменных г, s, t. Очевидно, что (21) - это частный случай (26) при t - 0.

Следует отметить не совсем очевидные способы применения тождеств (23) и (25). Часто бывает полезно заменить простой биномиальный коэффициент в правой части тождества более сложным выражением из левой части, изменить порядок суммирования и упростить его. Левые части тождеств можно рассматривать как разложения

Г М по (). \п + а/ \ п J

Тождество (23) используется для отрицательных о, а формула (25)-для положительных о.

На этом наше изучение "науки о биномиальных коэффициентах" заканчивается. Советую читателю внимательно разобраться в приведенных формулах; особенно это касается тождеств (5)-(7), (9), (13), (17), (20) и (21). Обведите их своим любимым маркером!

Имея в своем распоряжении все эти методы, мы сможем решить практически любую возникшую задачу по меньшей мере тремя различными способами. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Чему равна сумма Е() (fc) - положительное целое число?

Решение. Формула (7) позволяет избавиться от "внешнего" к:

ш(:)-Еа)а:;>=»ша:;)

Теперь применим формулу (22) при п = - 1. В результате получим

r + s-1

\k)[k)=\