1 о о о о о о о о

Таблица 2

ЧИСЛА СТИРЛИНГА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

О 1 1 2 6 24 120 720

О О 1 3 И 50 274 1764

О О О 1 6 35 225 1624

О О О О 1 10 85 735

О О О О О 1 15 175

О О О О О О 1 21

5040 13068 13132 6769 1960 322 28

О О О О О О О О 1

Аппроксимация при больших п приведена в работе L. Moser, М. Wyman, J. London Math. Soc. 33 (1958), 133-146; Duke Math. J. 25 (1958), 29-43; D. E. Barton, F. N. David, M. Merrington, Biometriku 47 (1960), 439-445; 50 (1963), 169-176; N. M. Temme, Studies in Applied Math. 89 (1993), 233-243; H. S. Wilf, J. Combina.tonaJ Theory A64 (1993), 344-349; H.-K. Hwang, J. Combinntorial Theory A71 (1995), 343-351.

Числа Стирлинга первого рода используются для перехода от факториальных степеней к обычным:

=х{х-1)...{х-п + 1)

а;П-1+ ... + ( !)«

Например, согласно табл. 2 имеем

(44)

Числа Стирлинга второго рода используются для перехода от обычных степеней к факториальным:

(п п

(45)

Фактически именно эта формула послужила причиной того, что Стирлинг занялся изучением чисел {} в работе Methodus Differentialis (London, 1730). Например, из табл. 2 имеем

=х- + lOxi + 25х- + 15х + xi

А теперь приведем наиболее важные тождества, в которых фигурируют числа Стирлинга. В этих тождествах переменные тип всегда обозначают неотрицательные целые числа.

Формулы сложения:

(46)

I m j LmJ Lm -1J Формулы обращения (ср. с (33)):

?НС}<-)"-=»". Е{:}[:](-г-=».-

Некоторые частные значения:

п - и

-L\}-{1>

(47)

(48) (49)

"о}=°- ["t]=" {"V}"- ГГ}="-- ™

Формулы разложения: к

п + 1 m -М

?[ж:)=

уГк+1

1т +

5:(:)(-г-*"="{:}

(51)

(52) (53)

E/m - n\/т + n\ f m + fc"! г n , \m + k)\n + k )\ к J Ln-

{>»--{::\y

k<n

(55)

(56)

Другие фундаментальные тождества, связанные с числами Стирлинга, приведены в упр. 1.2.6-61 и 1.2.7-6 и в разделе 1.2.9 (соотношения (23) и (26)-(28)).

Тождество (49) - это только один пример общей закономерности: числа Стирлинга и {„Гт) являются многочленами от п степени 2т, где m - неотрицательное целое число. Например, для m = 2 и m = 3 получим следующие формулы:

(57)

п n-2j

Ln-3

fn+l\ 4 )

fn 6

)-(":>кт){л}=("Г)-("Г)-а)

и {rm} произвольных дей-

T-mJ

Поэтому имеет смысл определить числа

ствительных (или комплексных) значений г. Используя это обобщение, получаем следующую интересную связь между числами Стирлинга двух родов:

-m -n J

(58)

Такая связь называется законом двойственности, который содержался в неявной форме в оригинальных выкладках Стирлинга. Более того, соотношение (45), в целом, остается справедливым в том смысле, что бесконечные ряды

(59)

сходятся, когда действительная часть z положительна. Вторая формула, т. е. (44) аналогичным образом обобщается на случай асимптотических (но не сходящихся) рядов:

Г -к]

{-Ifz-"+ 0{z

г -ш-1

(60)

(См. упр. 65.) В разделах 6.1, 6.2 и 6.5 CMath содержится дополнительная информация о числах Стирлинга и о том, как оперировать ими в формулах. См. также упр. 4.7-21, в котором будет рассмотрено общее семейство треугольников, включающее числа Стирлинга в качестве частного случая.