УПРАЖНЕНИЯ

1. [00] Сколько существует сочетаний из n по n - 1?

2. [00] Чему равно (°)?

3. [00] Сколько существует различных способов сдать карты одному игроку во время игры в бридж (13 карт из колоды, состоящей из 52 карт)?

4. [10] Представьте ответ к задаче 3 в виде произведения простых чисел.

► 5. [05] С помощью треугольника Паскаля объясните тот факт, что 11 = 14641.

► 6. [10] Треугольник Паскаля (см. табл. 1) можно продолжить во всех направлениях с помощью формулы сложения (9). Добавьте к табл. 1 три строки сверху (т. е. для г = - 1, -2 и -3).

7. [12] Если п - фиксированное положительное целое, то при каком алачении к () принимает максимальное значение?

8. [00] Какое свойство треугольника Паскаля отражено в "свойстве симметрии" (6)?

9. [01] Чему равно (")? (Рассмотрите все целые п.)

► 10. [А/.25] Пусть р - простое число. Покажите следующее.

a) (")= - (по модулю р). Чр/ LpJ

b) = О (по модулю р) для 1 < fc < р - 1.

c) = (-1)* (по модулю р) для о < fc < р - 1.

d) = О (по модулю р) для 2 < А; < р - 1.

e) (Э. Люка (Ё. Lucas), 1877.)

/n\ f\п/р\\ /п mod р\ , .

{k)[\k/p\)[kmodp) (п°-ДУ™Р)-

V [к/р\ J \к modр

f) Если в системе счисления с основанием р числа п и А; представляются в виде п = Огр"" Н-----1- aip + ао,

к = Ьгр- +-+bip + bo,

" (*)-(:;)(::)(:)<"-»)

► 11. [М20] (Э. Куммер (Е. Kummer), 1852.) Пусть р - простое число. Покажите, что если р" делит

а р""*" -нет, то п равно числу переносов, которые выполняются при сложении чисел а и Ь в системе счисления с основанием р. [Указание. См. упр. 1.2.5-12.]

12. [М22] Существуют ли целые положительные числа п, для которых все ненулевые элементы в п-й строке треугольника Паскаля являются нечетными? Если да, найдите все такие п.

13. [Afi5] Докажите формулу суммирования (10).

14. [М21] Вычислите сумму Х;Г=о=-

15. [AfJ5] Докажите биномиальную формулу (13).

16. [М15] Для положительных целых п и fc докажите свойство симметрии

<->"(Л) =<-)*(„-:)

► 17. [М18] На основании соотношения (15) и тождества (1 + х)"" = (1 + х)(1 + х) докажите формулу Чжу-Вандермонда (21).

18. [Mi5] На основании соотношений (21) и (6) докажите (22).

19. [М18] Докажите (23) по индукции.

20. [Л/.20] Докажите (24) с помощью (21) и (19), а затем покажите, что еще одно применение формулы (19) дает (25).

► 21. [М05] Обе части равенства (25) - это многочлены по s; почему это равенство не является тождеством по в?

22. [М.20] Докажите (26) для частного случая s = п - 1 - г + nt.

23. [М13] Предполагая, что (26) выполняется для (г, s,t,n) и (г, s - t, t, n - 1), докажите его для (г, S+ 1, t, п).

24. [М15] Объясните, как объединить результаты двух предыдущих упражнений для доказательства (26).

25. [НМЗО] Пусть многочлен Лп(х,<) определяется формулой (30). Пусть 2 = х*"- х. Докажите, что (г, <)2* = х, если z достаточно мало. [Замечание. При t = О этот результат, по существу, совпадает с биномиальной теоремой, поэтому приведенное соотношение является важным обобщением биномиальной теоремы. При доказательстве тождества биномиальную теорему можно считать известной.] Указание. Начните с тождества

B-(?)rr)F--

26. [НМ25] Используя предположения из предыдущего упражнения, докажите, что

\ к J {t + l)x-f

27. [НМ21] Решите задачу из примера 4, приведенного в тексте раздела, используя результат упр. 25, и на основании двух предыдущих упражнений докажите (26). [Указание. См. упр. 17.]

28. [М25] Докажите, что

к к>0

если п - неотрицательное целое число.

29. [М20] Покажите, что тождество (34) - это просто частный случай общего тождества, доказанного в упр. 1.2.3-33.

► 30. [М24] Покажите, что существует более удачный (по сравнению с приведенным в тексте раздела) способ решения примера 3, который состоит в преобразовании суммы с применением соотношения (26).

► 31. [М20] Выразите сумму

E/m-r + s\/n + r-s\/r + k \ I fc )\ п-к }\т + п)

через г, т и п, если т и п-неотрицательные целые числа. Начните с замены

суммой j:( : )().

\m + nj \т + п - J / \j J

32. [M20] Покажите, что Х)*!*]* =2;", где ж"-возрастающая фаххориальная степень, определенная формулой 1.2 5-(19).

33. [Af.20] {Сумма Капелли ) Покажите, что биномиальная формула справедлива и в том с-1учае, когда в ней вместо обычных степеней фигурируют возрастающие факториальные степени, т. е. докажите тождество (ж + у)" =

34. [М23] {Сумма Торелли ) В свете предыдущего упражнения покажите, что обобщение Абеля (16) для биномиальной формулы справедливо также для возрастающих степеней:

(X + yf = {1)Ф -kz + 1)\у + kz)~\

35. [М23] Выведите формулы сложения (46) для чисел Стирлинга непосредственно из определений (44) и (45).

36. [М10] Чему равна сумма Yk (к) чисел каждой строки треугольника Паскаля? Чему равна сумма этих чисел, взятых с чередующимися знаками, (2)(~1)°

37. [AfiO] Используя результаты предыдущего упражнения, вычислите сумму элементов строки, взятых через один: (2) + (j) + (4) + •

38. [НМЗО] (К Рамус (С Ramus), 1834 ) Обобщая результат предыдущего упражнения, покажите, что для О < к < т справедлива следующая формула

+ i lJ + (, \)+•• =- Е (2cosrcos(!L:i. \kj \m + kj \2m + kJ m \ mj m

0<j<m

Например,

(:)-(:)-(;)-=K"-

[Указание. Найдите нужную линейную комбинацию этих коэффициентов, умноженных на корни т-й степени из единицы.] Данное тождество особенно замечательно при т > п

39. [AfJO] Чему равна сумма X],[2 ] чисел каждой строки первого треугольника Стирлинга Чему равна сумма этих чисел, взятых с чередующимися знаками? (См. упр. 36.)

40. [НМ17] Для положительных действительных чисел х, у бета-функция В{х,у) определяется формулой В{х,у) = «""(1 - <)"" dt.

a) Покажите, что В(ж, 1) = В(1,ж) = 1/ж.

b) Покажите, что В{х -Ь 1, у) -Ь В{х, у -Ь 1) = В(х, у)

c) Покажите, что В(ж, у) = {{х -Ь у)/у) В{х, у -Ь 1).

41. [НМ22] В упр. 1 2.5-19 мы установили связь между гамма-функцией и бета-функцией, показав, что Гт{х) = тВ{х,т -Ь 1), если т - положительное целое.

a) Докажите, что

b) Покажите, что

()-г(