Поэтому, когда m увеличивает<я на 1, левая часть неравенства (2) увеличивается по меньшей мере на .

Но мы нуждаемся в более йрдробной информации о Н„, чем та, которую дает неравенство (2). Приближенная оценка Я„ хорошо известна (по крайней мере, в математических кругах); она дается следующей формулой:

H„lnn + ,+ l- + jl-e, 0<.<25. (3)

Здесь 7 = 0.5772156649.. . - это постоянная Эйлера, введенная Леонардом Эйлером в работе Commentarii Acad. Sci. Imp. Pet. 7 (1734), 150-161. Точные значения Я„ для малых п, а также значение 7 с точностью до 40-го десятичного знака, приведены в приложении А. Формула (3) будет выведена в разделе 1.2.11.2.

Таким образом, Н„ является достаточно близким к натуральному логарифму п. В упр. 7, (а) будет показано, что Я„ и ведет себя в некоторой степени, как логарифмическая функция.

В этом смысле по мере увеличения п функция Н„ стремится к бесконечности очень медленно, так как сумма

+ i + - + i (4)

остается ограниченной для всех п, если показатель г - это любое действительное число, которое больше единицы (см. упр. 3). Сумму (4) обозначим через Нп.

Если показатель г в (4) больше или равен 2, то величина Я,," дово 1ьно близка к своем\ .\»аксимальному значению для всех п. кроме совсем малых Величина Я хорошо известна в математике как дзета-функция Римана-

= с(г) = Ер- -

Если г--четное целое число, то известно, что значение ((?) равно

Н = \\ВА, целое г/2 >1, (в)

где Вг-это число Бернулли (см. раздел 1.2.11.2 и приложение А). В частности,

Я(2) = !l! я") = - Я(«) = Я) = - (7)

6 ~ 90 °° 945 ~ 9450

Эти результаты получены Эйлером; подробное обсуждение данной темы, а также доказательства формул приводятся в CMath, §6.5.

А теперь рассмотрим несколько важных сумм, в которых участвуют гармонические числа. Во-первых,

ХЯ, = (п + 1)Я„-п. (8)

Это получается в результате простой замены индекса суммирования:

(t iv ii. It ii.

к=1 j=l j=l k=j 3=1

n + l-3

следовательно,

Формула (8) - частный случай суммы 53*= i (т)-* которую мы сейчас найдем. Для этого воспользуемся важным приемом, который называется суммированием по частям. Это очень полезный способ вычисления суммы акЬк, когда величины J2uk и {Ьк+\ - Ьк) имеют простой вид. В таком случае замечаем, чю

(т) " (m+l) " (m + l)

и поэтому

Применяя соотношение 1.2.6-(11), получаем искомую формулу:

(Вывод этой формулы и ее окончательный результат аналогичны вычиатению интеграла

/ x»lnxdx=-(lnn--+ :--~

Ji т + 1\ т + 1/ (т-1-1)2

методом интегрирования по частям.)

И в завершение этого раздела рассмотрим сумму несколько иного вида,

которую для краткости временно обозначим через 5„. Находим, что

=Е (а) (,! J) =..g(," (я.... 1)

Отсюда Sn+i = {х+ 1)S„ + {{х + 1)"+ - 1)/(п + 1) и поэтому

Sn+i S„ Ji 1

(а; + 1)"+ " (х iJ. 1)" n + 1 4n + l)(x + l)"+i

Из данного равенства и того акта, что Si = х, следует

(х+1)" " fe(x+l)*"

Сумма справа является частной суммой бесконечного ряда для ln(l/(l - 1/(а;+1))) = 1п(1--1/а;), этот ряд сходится при х > О, разность между 1п{1+1/х) и частной суммой равна

fe(x+l)* (п + 1)(х+ !)"+! + ~ (п + 1)(х+1)"а;"

Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема А, Если х > О, то

рСкУ"=+1)" - Ч"+))+

гдеО < е < 1/(х(п + 1)).

УПРАЖНЕНИЯ

1. [01] Чему равны Но, Hi и Яг

2. [75] Покажите, что, несколько видоизменив простое докгйательство, которое было использовано в тексте для вывода неравенства Яз"» > 1 + т/2, можно показать, что Язт < 1+т

S. [М21] Обобщите доказательство, использованное в предыдущем упражнении, и покажите, что для г > 1 сумма Нп остается ограниченной для всех п Найдите верхнюю грань

► 4. [10] Какие из следующих утверждений верны для всех положительных целых п. (а) Нп < Inn; (b) Нп > Inn, (с) Я„ > Inn -Н 7

5. [15] Пользуясь таблицами из приложения А, укажите значение Яюооо с точностью до 15-го десятичного знака

6. [М15] Докажите, что гармонические числа непосредственно связаны с числами Стирлинга, которые рассматривались в предыдущем разделе, т е

"-[ 2

7. [М21] Пусть Т{т, п) = Н -Ь Я„ - Нтп (а) Покажите, что если т или п возрастает, то Т(т, п) не возрастает (в предположении, что тип положительны) (Ь) Вычислите минимальное и максимальное значения Г(т,п) для m,n > О

8. [НМ18] Сравните сумму (8) с Х)Г=1 > найдите их разность как функцию от п

► 9. [М18] Теорема А применима только для х > О Чему равна рассматриваемая сумма при X = -Р

10. [М20] (Суммирование по частям ) В упр 1 2 4-42 и при выводе формулы (9) мы использовали частные случаи общего метода суммирования по частям Докажите общую формулу

Е ~ afc)b)t = ОпЬп - oibi - ak+i{bk+i - bk)

1<*<п 1<к<п