Е. Дифференцирование и интегрирование. С помощью методов дифференциального и интегрального исчислений можно выполнять над производящими функциями дополнительные операции. Если G{z) определяется формулой (1), то ее производная равна

G{z) = ai+ 2a2Z + Saaz + = 5]](A; + l)afc+iz=. (14)

*:>0

Производящей функцией для последовательности {па„) является zG{z). Следовательно, выполняя операции над производящей функцией, мы можем найти производящую функцию для последовательности, полученной из предыдущей умножением каждого члена а„ на многочлен от п.

Обратный процесс, т. е. интегрирование, дает еще одну полезную операцию:

Git) dt = aoz + \aiz + az + • • • - E Ь-"

fc>i

В качестве частных случаев возьмем производную и интеграл от функции (5):

= 1 + 2. + + ••• = (fc + 1). (16)

Сопоставляя (17) и (7), найдем производящую функцию для последовательности гармонических чисел:

*:>0

F. Известные производящие функции. В каждом случае, когда функция разлагается в степенной ряд, мы, по сути, получаем производящую функцию для некоторой последовательности. Эти специальные функции могут быть очень полезны в сочетании с операциями, описанными выше. Ниже приведены самые важные случаи разложения в степенной ряд.

i) Биномиальная теорема.

{l + zY = l + rz + ±z + ... = Y.Q(19)

Если г - неотрицательное целое число, то получаем частный случай, который уже отражен в соотношениях (5) и (16):

У-) = ТГпУ- (20)

Существует также обобщенная формула, доказанная в упр. 1.2.6-25:

г , r(r-2t-l) 2 v/r-fcn г t , ,

*:>0

здесь X -непрерывная функция от z, которая является решением уравнения х* = х + Z, где X = 1 при Z = 6.

ii) Экспоненциальный ряд.

expz = = 1 + Z + z2 + • • = X z".

к>0

В общем случае имеем следующую формулу, содержащую числа Стирлинга:

iii) Логарифмический ряд (см. (17) и (18)).

it>l

Чг)=1:(я»..-я„,С"Г)

(22)

(23)

(24)

(25)

С помощью чисел Стирлинга можно получить более общее соотношение (как в (23)):

\ 1- zJ п + 1

+...=niY:

z/kl.

(26)

In + Г п J

Еще более обобщенные формулы, включающие суммы гармонических чисел, можно найти в статьях D. А. Zave, Inf. Proc. Letters 5 (1976), 75-77; J. Spiefi, Math. Comp. 55 (1990), 839-863.

iv) Другие ряды.

LfcJ

z(z + l) ... {z + n-l) = Y,

(l-z)(l-2z) ... (l-nz) \пГ -1 2 12 Pk\-

(27) (28) (29)

Jfc>0

Коэффициенты В к в последней формуле - это числа Бернулли; более подробно они будут обсуждаться в разделе 1.2.11.2. Таблица чисел Бернулли приведена в приложении А.

Следующее тождество, аналогичное (21), будет доказано в упр. 2.3.4.4-29:

ж" = 1 + rz +

r(r + 2t) 2 , + *)*"

it>0

(30)

здесь X - непрерывная функция от z, которая является решением уравнения х = е*, где х- \ при Z = 0. Важные обобщения формул (21) и (30) обсуждаются в упр. 4.7-22.

G. Представление коэффициента. Для коэффициента при z" в выражении для G{z) часто удобно использовать запись

[z"]G{z).

(31)

Например, если G{z) - производящая функция, определяемая формулой (1), то [z"]G{z) - йп к [z"]G{z)/{l - z) = 53=0Одним из самых фундаментальных результатов теории комплексного переменного является формула О. Л. Коши (А. L. Cauchy) [Exercices de Math. 1 (1826), 95-113= (Euvres (2) 6, 124-145, Eq. (11)], no которой любой нужный коэффициент можно представить в виде интеграла по контуру

если G{z) сходится для 2; = 2;оиО<г<2;о. Главная идея состоит в том, что интеграл z" dz равен нулю для всех целых тп, за исключением тп = -1, когда

интеграл равен

Г (re)-d(re) = i Г м = -гт.

J-тх J-к

Формула (32) особенно важна в случае, когда мы хотим изучить поведение коэффициента.

И в заключение раздела вернемся к задаче, которая была лишь частично решена в разделе 1.2.3. Из формулы 1.2.3-(13) и упр. 1.2.3-29 следует, что

Е = \ fЕ*) + \ f ЕО

l<j<j<n 4=1 / V*=l /

Е i* = \ (е*) + \ (ЁО fЁ) + \ fЁ

\<i<i<k<n к=1 \к=\ / \к=\ \к=\

l<i<j<k<r

Рассмотрим общий случай. Пусть есть п чисел xi,X2, . ,Хп и нужНо найти

сумму

hm= Xj, . . . Xj .

Требуется, если возможно, выразить эту сумму через Si, S2, Sm, где

= Е4

(33)

(34)

представляет собой сумму j-x степеней. Используя эту более компактную запись, можно переписать приведенные выше формулы следующим образом:

/12 = 5? + 52; Лз = + 5x52 + 5з. Чтобы решить задачу, рассмотрим производящую ф}(нкцию

G{z) = l + hiz + h2Z + --- = Yi (35)