и, следовагельно. при m > 1 можем проинтегрировать по частям:

i " J3„({x))/l">(x)<fc = j-i(S„+,(l)/<»)(n) - В„+,(0)/1"1(1))

С помощью этого результата можно улучшить формулу (3) и, воспользовавшись (6), получить общую формулу Эйлера

Y Г/(х)сЬ:-(/(п)-/(1)) + (/(п)-/(1))+---

l<it<n

= Г fix) dx + i(/(=-)(n) - +

(10)

Rmn -

- Bmi{x})f"4x)dx. (11)

Остаток Rmn будет мал при очень малых значениях Bm({x})/("(x)/m, и фактически можно показать, что для четного т

ВтЦх})

<Ш< 1 (12)

[См CMath, §9 5.] С другой стороны, обычно оказывается, что при увеличении т функция /("(х) возрастает по модулю, поэтому существует "наилучшее" значение т, при котором \Rmn\ принимает наименьшее значение (если п фиксировано) Известно, что, когда m четно, существует число в, такое, что

Я„„=й£(/("+(п)(1)), 0<й<1 (13)

при условии, что /("+(х)(х) > О для 1 < х < п. В данном случае остаток меньше первого отбрасьшаемого члена и имеет такой же знак, как и у него Упрощенный вариант этого результата доказывается в упр. 3

А теперь применим формулу Эйлера к некоторым важным примерам Сначала положим fix) - 1/х Производные будут иметь вид = (-1)"т/х"+\ поэтому согласно (10) получим

Я„ 1 = Inп + Ё (-1)=- (4 - О + гпп. (14)

Тогда

т о

7 = hm (Я„ 1 - Inn) = V -7(-1) + hm Я„„ (15)

Из того, что существует предел lim„ »cx> Дтп = ± Bm{{x})dx/x"+, следует, что существует константа 7. Тогда на основании (14) и (15) получаем общую приближенную формулу для гармонических чисел:

Я„ 1=1пп + 7 + 1: +1 т+г

= ьп-ь74-ЕЧ; + Ы-

Заменив m на m + 1, получим

Более того, из (13) видно, что погрешность меньше первого отбрасываемого члена. В качестве частного случая (добавляя к обеим частям 1/п) получим

„ , 111 Be 1

Я„ = 1пп + 7+ ------ + -гт-т - е, О < е <

2п 12п2 120п4 бпб 252пб"

Это соотношение 1.2.7-(3). Для больших А; числа Бернулли Bk становятся очень большими (приблизительно {-1У+2{к\/{2т:)), если к четно), поэтому ни при каком фиксированном значении п ряд, полученный из (16), при m оо сходиться не будет.

Данный метод можно применить и для вывода приближенной формулы Стирлинга. На этот раз положим /(х) = 1пх и из (10) получим

ln(n-l)!=nlnn-n + l-ilnn-b Е

1<*<т

Продолжая рассуждения, как было показано выше, приходим к выводу, что предел

EBj.( l)fc+i ------ + lim Rmn - - kik - 1) n-юо

l<fc<m

существует. Временно обозначим его через а ("постоянная Стирлинга"). В результате получим приближенную формулу Стирлинга

lnn! = (n+i)lnn-n + .4- Е ,(fj;/iL+4;)-

В частности, положим m = 5. Тогда

lnn! = (n+i)lnn-n + a+-+0(;). И теперь после потенцирования обеих частей находим:

Воспользовавшись тем, что е" = \/27г (см. упр. 5), и разложив экспоненту в ряд, получим окончательный результат:

/г--/п\"/ 1 1 139 571 / 1 \А „„ч

УПРАЖНЕНИЯ

1. [Ml 8] Докажите соотношение (7).

2. [НМ20] Заметьте, что формула (9) следует из (8) для любой последовательности Вп, а не только для той, которая определяется соотношением (4). Объясните, почему использование последней является необходимым условием справедливости соотношения (10).

3. [НМ20] П>сть Стп = {{-lГBm/m.){f"-{n) - /"""(l)) - т-й корректирующий член в формуле суммирования Эйлера. Считая, что функция /"(ж) имеет постоянный знак на промежутке 1 < х < п, докажите, что Ятп < ICmnl при m = 2А: > 0; другими словами, покажите, что значение остатка по модулю не больше значения последнего вычисленного члена

► 4. [НМ20] (Суммы степеней.) Если f(x) = ж"", то все производные функции / порядка 7п -i- 1 и выше равны нулю, поэтому формула суммирования Эйлера дает точное значение суммы

Sm(n)r. Y, 0<к<п

выраженное с помощью чисел Бернулли (Именно изучая суммы Sm(n) для m = 1, 2, 3, ..., Бернулли и Секи пришли к открытию этих чисел.) Представьте Sm(n) с помощью многочленов Бернулли Проверьте полученный результат для m = О, 1 и 2. (Обратите внимание, что сум.мирование в искомой сумме вьшолняется по О < /г < п, а не по 1 < /г < п; в формуле суммирования Эйлера единицу везде можно заменить нулем.)

5. [НМЗО] На основании формулы

„, = .()"(..о(1))

и с помощью произведения Валлиса (упр. 1.2.5-18) покажите, что к = у/2ж. [Указание. Рассмотрите () для больших значений п ]

► 6. [НМЗО] Покажите, что приближенная формула Стирлинга справедлива также для нецелых значений п-

Г(а:-Ц) = ч/2(У l+0(i), х>а>0.

[Указание. В фор.муле суммирования Эйлера положите f(x) - In(a;-t-c) и воспользуйтесь определением Г(х), которое дано в разделе 1.2.5.]

► 7. [НМ32] Чему равно приближенное значение 1*23. .п"?

8. [М23] Найдите аси.мптотическое представление для \п(ап+ЬпУ с абсолютной погрешностью 0(п~) Воспользуйтесь полученным результатом для нахождения асимптотического представления для (")/с"(" ) с относительной погрешностью 0(п), где с - положительная констанга В данном случае под абсолютной погрешносУпью понимаем такое е, которое удовлетворяет соотношению (точное значение) = (приближенное значение) -1-е, а под относительной погрешностью - е, удовлетворяющее соотношению (точное значение) = (приближсппое значение) (1 + е).