► 9. [М25] Найдите асимптотическое представление для () с относительной погрешностью порядка 0(п") двумя способами, (а) с помощью приближенной формулы Стирлинга; (Ь) с помощью упр. 1.2.6-47- формулы 1.2.11.1-(16).

*1.2.11.3. Применение асимптотических формул. В данном разделе мы рассмотрим три следующие интересные суммы, чтобы найти их приближенные значения:

p(n) = i4- + !L!i:::J + - = f ("-)!"-), (i)

п п п - I п!

/fc=0

, . п - 1 п - 1 п - 2 п!

п п п (п- кип"

Эти функции, на первый взгляд, похожи, но на самом деле в корне отличаются одна от другой. Они возникают в некоторых алгоритмах, которые будут рассмотрены несколько позже. И Р{п), и Q{n) - конечные суммы, в то время как R{n) - бесконечная сумма. Может показаться, что при больших п значения всех трех сумм будут практически одинаковы, хотя совсем не очевидно, каким будет приближенное значение каждой из них в отдельности. В процессе поиска приближенных значений этих функций мы получим ряд очень поучительных побочных результатов. (Если хотите, можете временно прекратить чтение и попытаться самостоятельно исследовать эти функции, прежде чем вернуться к книге и выяснить, как с ними поступим мы.)

Прежде всего отметим важную связь между Q{n) и R{n):

.<„,.«,„,.((..„.....).(=:.....))

п! е

Формула Стирлинга говорит о том, что п! е"/п" приближенно равно \/2ттп, поэтому можно догадаться, что каждая из функций Q{n) и R{n) приближенно равна J-kjiJI.

Теперь, чтобы продвинуться дальше, рассмотрим частные суммы ряда для е". Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом

/(х) = /(0)4-/(0)х + --- + - 7 + / -f-4x-t)dt,

п\ Jo п\

мы вскоре поймем необходимость введения важной функции, которая называется неполной гамма-функцией:

7(a,i)= Г e-t-Чt. (6)

Будем считать, что а > 0. Из упр. 1.2.5-20 имеем 7(0, оо) = Г(а); этим и объясняется название "неполная гамма-функция". Для нее существует два полезных разложения

в ряд пр степеням х (см. упр. 2 и 3):

Ж- Х-- Х-- -

("") = Т- + 2!(-- =Е7!(]й:

e7(a,xj- д +д(д + 1)+д(д + 1)(д + 2)"~а(а + 1)...(а + Л)-

Из второй формулы видна связь с R{n):

Данное равенство специально было записано в более сложном виде, чем это необходимо, так как 7(п,п) - часть 7(п,оо) = Г(п) = (п-1)!, а п!е"/п" - величина из (4).

Поэтому задача сводится к нахождению хороших оценок для 7(п, п)/(п-1)!. Теперь определим приближенное значение 7(х-И, х+у)1Т{х+\) для фиксированного у и больших X. Заметим, что используемые здесь методы важнее результатов, поэтому читателю следует внимательно разобраться в приведенных ниже выкладках.

По определению имеем

7(х + 1,х + 2/) 1 Ге-..

Г(х + 1) Уо

Пх + 1)

Обозначим

l2= e-i dt

и рассмотрим по очереди каждый из этих интегралов.

Оценка h. Выполнив подстановку t = x{l+u) получим интеграл от О до бесконечности. В результате дальнейшей подстановки г; = u - \n{l-{-%i), dv = (l -l/(l--u))du (она законна, так как v - монотонная функция ог и) получаем:

/i=e-xy xe-[l + uY du = e-xхе-il + dv. (11)

В последнем интеграле заменим 1 -Ь 1 /и рядом по степеням v. Тогда

V = - и= + \и - + = (u72)(l - u + - + • • Полагая w = \/2iii. 1юлучим

(Это разложение можно получить на основании биномиальной теоремы. Эффективные м?тоды вьшолнения подобных преобразований, а также других операций над

степенными рядами, которые понадобятся нам несколько позже, рассматриваются в разделе 4.7.) Теперь можно получить разложение и в ряд по степеням w.

" = - + 5 + --2- + 4-+(-)

1-111 2 2 1 3 / 44

1 + - = 1 +--- + rT;w -

и ги 3 12 135 864

Во всех этих формулах О-запись относится к малым значениям аргумента, т. е. и < г, г; < г, гу < г для достаточно малого положительного г. Не слишком ли сильное это ограничение? Предполагается, что подстановка 1 -Ь 1/и как функции от г; в (11) законна и для О < г; < оо, а не только для г; < г. К счастью, оказывается, что значение интеграла от О до оо почти полностью зависит от значений подынтегральной функции в окрестности нуля. В самом деле, получаем (см. упр. 4)

°°xe-(l + i)dt; = 0(e-") (13)

для любого фиксированного г > О и для больших х. Нас интересует аппроксимация с точностью до членов порядка 0{х~"), и так как 0((1/е)) намного меньше, чем 0(х~") для любых положительных гит, нужно взять интеграл только от О до г для любого фиксированного положительного г. Поэтому возьмем достаточно малое г, чтобы все выполненные выше операции над степенными рядами были законны (см. соотношения 1.2.11.1-(11) и 1.2.11.3-(13)). Так как

f°° 1 f°° 1

/ xe-v" dv - e-«g"dg= -Г(а + 1), если а >-1, (14) Уо х Jo х

то, подставляя ряд (12) в интеграл (11), окончательно получаем

/. = е-х. (УxV . I . f , V, 3. , . ,,,,

Оценка /2- В интеграле I2 делаем подстановку t = и + х и получаем

l2=e-x j-ll + J du. (16)

Теперь

для о < и < у п больших X. Поэтому