и в заключение исследуем множитель е~х1Т{х + 1), который появляется при умножении (15) и (17) на коэффициент 1/Г(х + 1) из (10). По формуле Стирлинга, которая согласно упр. 1.2.11.2-6 справедлива для гамма-функции, имеем

Т{х + 1)

ч/2 12ч/2 288v

А теперь из соотношений (10), (15), (17) и (18) получаем следующую теорему.

Теорема А. Для больших значений х и фиксированного у

ф+l.x + y) 1 /t/-2/3\ , L( y. у1.\-з/2

Цх + 1) \ J vV270 12 6 Г

+ 0(х-/2). I (19)

Примененный метод показывает, что данное разложение можно продолжить настолько, насколько это необходимо, и получить приближенную формулу для последующих степеней х.

Теорему А можно использовать для получения приближенных значений Щп) и Q{n) с помощью (4) и (9), но мы сделаем это несколько позже. А пока давайте вернемся к сумме Р(п), для изучения которой, похоже, необходим немного другой -метод. Имеем

Я„, = t = t *-е- . X , 0(.-,). (20,

А,=0 к=0

Таким образом, для получения значений Р{п) требуется изучить суммы вида

Положим f(x) = х"+/е~ и применим формулу суммирования Эйлера:

У2 к+е-" = Г х"+1/е- dx + in"+i/2e-" + -п-/е - R. (21)

Предварительный анализ, остаточного члена (см. упр. 5) показывает, что R = 0(п"е~"); и так как интеграл является неполной гамма-функцией, имеем

Y kle- = 7(п +!,") + п"+1/2е-" + 0(п"е-"). (22)

Для формулы (20) требуется еще найти оценку суммы

Jt=0 0<*:<n-l

и это также можно получить с помощью соотношения (22).

Теперь в нашем распоряжении достаточно формул для того, чтобы определить приближенные значения Р{п), Q(n) и R{n); осталось только подставить, умножить и т. д. При этом нам представится случай воспользоваться разложением

(п + аГ+ = п"+е* (l + a(p-]- + 0(п-2) , (23)

которое доказывается в упр. 6. Метод, который мы использовали в (21), дает только первые два члена асимптотического ряда для Р{п). Следующие члены можно получить с помощью важного метода, описанного в упр. 14.

В результате всех этих рассуждений получаем нужные асимптотические формулы:

г,/ ч 2 11 /тГ 4 71 /тг ,

Pin) - - 3 + 24 V 2 + 135; - П52 V 2 +

тп 1,1 /тг 4 1 / тг , , 2.

«<" = /т - § + hVs -135;; + 5i\/2SJ+™

„, , [тт 1 1 /тг 4 1 / тг , 9,

ад = Vt + 3 + l2\/2; + 135 + 288 V 2 +

Изученные нами функции только поверхностно рассматривались в опубликованных научных работах. Первый член тгп/2 в разложении суммы Р{п) был получен Г. Б. Демутом (И. В. Demuth) [Ph. D. thesis (Stanford University, October, 1956), 67-68]. Используя данный результат, таблицу значений Р{п) для п < 2000 и хорошую логарифмическую линейку, автор в 1963 году продолжил эти исследования и получил эмпирическую оценку Р(п) и i/trn/2-0.6667-l-0.575/v. Было естественно предположить, что на втором месте стоит 2/3, 0.6667 является приближенным шачением для 2/3, а 0.575, вероятно, будет приближением для 7 = 0.57721..., которое должно заменять это число в третьем слагаемом (почему бы не быть оптимистом?). Впоследствии, во время написания данного раздела, было найдено верное разложение для Р{п) и предположение о том, что 0.6667 нужно заменить на 2/3, подтвердилось. Что же касается коэффициента 0.575, то он является приближением не для 7, а для \/тГр2 w 0.5744. Это отлично подтверждает и теорию, и эмпирические оценки.

Эквиваленты асимптотических формул для Q(n,) и R{n) были впервые определены выдающимся индийским математиком-самоучкой С. Рамануджаном (S. Ramanujan), который поставил задачу оценки п!е"/2п" - Q{n) в J. Indian Math. Soc. 3 (1911), 128; 4 (1912), 151-152. В качестве решения этой задачи он предложил асимптотический ряд

1 4 1 8 2 1 з

3135" 2835" 8505" который гораздо лучше соотношения (25). По сравнению с приведенным выше методом доказательство Рамануджана было более изящным. Оценивая Ii, он выполнил подстановку t - х + и\/2х и выразил подынтегральное выражение в виде суммы членов вида Cjk /0°° ехр(-и)их~/ du. Интеграл I2 можно вообще не рассматривать.

так как 07(0,0:) = х" + 7(а + 1, х), где а > О (см. (8)). Еще более простой - вероятно, самый простой из возможных - метод получения асимптотической формулы для Q{n) приведен вХупр. 20. Несмотря на излишнюю сложность, использованный нами метод все же является очень поучительным. Он был предложен Р Фюрхом (R. Furch) [Zeitsdirift fur Physik 112 (1939), 92-95], который главным образом, интересовался значением у. удовлетворяющим соотношению 7( + 1, х + у) = Г{х+1)/2 Асимптотические свойства неполной 1амма-функции были впоследствии обобщены для комплексного аргумента Ф. Дж. Трикоми (F. G. Tricomi) [Math. Zeitschrift 53 (1950), 136-148]. См. также N. М. Тешше, Math. Comp 29 (1975), 1109-1114; SJAM J. Math. Anal. 10 (1979), 757-766 Ссылки на некоторые другие исследования суммы Q{n) перечислены в работе И. W. Gould, АММ 75 (1968), 1019-1021.

При выводе асимптотических формул для сумм Р{п), Q{n) и R{n) мы использовали только элементарные преобразования; но обратите внимание, что для каждой функции мы использовали свой метод! На самом деле во всех трех случаях можно было бы воспользоваться методом из упр. 14, который обсуждается в разделах 5.1.4 и 5.2.2. Это было бы более изящно, но менее поучительно.

Дополнительную информацию по этой теме можно найти в прекрасной книге Н. Г. де Брейна (N. G. de Bruijn) Asymptotic Methods in Analysis (Amsterdam: North-Holland, 1961) (H. Г. де Брейн, Асимптотические методы в анализе. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961). За более свежей информацией обратитесь к работе А. М. Odlyzko, HandbooJc of Combinatorics 2 (MIT Press, 1995), 1063-1229, в которой содержится 65 подробных примеров и подробная библиография.

УПРАЖНЕНИЯ

1. [НМ20] Докажите формулу (5) индукцией по п.

2. [НМ20] Выведите (7) из (6).

3. [М20] Выведите (8) из (7).

► 4. [НМЮ] Докажите соотношение (13).

б. [НМ24] Покажите, что в соотношении (21) Д имеет порядок 0(п"е""),

► 6. [НМ20] Докажите соотношение (23).

► 7. [НМЗО] Оценивая/г, мы рассматривали интеграл / e~"fl + -j du. Дайте асимптотическое представление °

Г -(-;)

с точностью до членов порядка 0{х ) для фиксированного у и больших х 8. [НМЗО] Пусть fix) = 0(х") при х-ооиО<г<1 Покажите, что

если тп = [{з + 2г)/(1 - г)]. [Отсюда, как частный случай, следует результат, принадлежащий Трикоми (Tricomi) если /(х) = 0(/x), то

e-"(l + j du = e- dt + 0{l)]