1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

В этом РАЗДЕЛЕ МЫ рассмотрим математические обозначения, используемые в книге Искусство программирования, и выведем основные формулы, которые будут часто применяться. Даже читатель, которого не интересуют сложные математические выкладки, должен понять смысл формул, чтобы иметь возможность пользоваться готовыми результатами.

Математические обозначения используются в этой книге для двух основных целей: для описания частей алгоритма и для анализа его рабочих характеристик. В предыдущем разделе были приведены обозначения, используемые в описаниях алгоритмов; как вы уже знаете, они достаточно просты. Но для анализа алгоритмов нам нужны другие, специальные обозначения.

Большинство рассматриваемых нами алгоритмов будет сопровождаться математическими подсчетами, определяющими ожидаемую скорость вьшолнения алгоритма. В этих вычислениях будут использоваться знания практически из всех разделов математики (для изложения всех используемых математических понятий потребовалась бы отдельная книга). Тем не менее для вьшолнения большинства вычислений используются знания математики на уровне школьного курса алгебры, поэтому читатель, знакомый с элементарными вычислениями, сможет разобраться почти во всех математических выкладках. В случаях, когда нам понадобятся более глубокие результаты из теории комплексного переменного, теории групп, теории чисел, теории вероятностей и т. д., материал будет излагаться как можно проще либо будет дана ссылка на другие источники информации.

Математические методы, используемые при анализе алгоритмов, имеют свои отличительные особенности. Например, нам довольно часто придется выполнять суммирование конечного числа рациональных чисел или решать рекуррентные уравнения. Подобные темы обычно очень поверхностно освещаются при чтении математических дисциплин, поэтому назначение следующих разделов - не только потренироваться в использовании обозначений, но и проиллюстрировать типы и методы вычислений, которые будут нам особенно необходимы.

Важное замечание. Хотя в следующих разделах содержатся обширные сведения из различных областей математики, которые совершенно необходимы для изучения компьютерных алгоритмов, большинство читателей сначала не увидят особой связи между этим материалом и программированием (за исключением раздела 1.2.1, в котором такая связь очевидна). Читатель, конечно, может сразу приступить к внимательному изучению следующих разделов, приняв на веру слова автора о том, что данные темы действительно очень важны. Но я считаю, что главной побу* дительной силой является интерес. Поэтому, наверное, лучше поступить иначе: сначала просто просмотреть этот раздел, а затем (после знакомства с применением указанных методов в следующих главах) снова вернуться к нему для более глубокого изучения. Ведь если во время первого чтения книги потратить слишком много времени на изучение данного математического материала, то можно никогда не дойти до вопросов программирования! Тем не менее каждый читатель должен ознакомиться хотя бы с общим содержанием этих разделов и дкже во время первого чтения попытаться выполнить несколько упражнений. Разделу 1.2.10 следует >делить особое внимание, так как это отправная точка для большей части теоре-

тического материала, излагаемого впоследствии. В разделе 1.3 происходит резкий переход от "чистой математики" к "чистому программированию."

Более подробно последующий материал излагается в книге R. Graham, D. Knuth, О. Patashnik, Concrete Mathematics, second edition (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994) (Грэхем P., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998). Впоследствии, ссылаясь на эту книгу, мы будем называть ее просто CMath.

1.2.1. Математическая индукция

Пусть Р(п) - некоторое утверждение, касающееся целого числа п, например, "п умножить на (п + 3) - четное число" или "если п > 10, то 2" > п". Предположим, нам нужно доказать, что утверждение Р{п) верно для всех положительных целых чисел п. Существует важный метод доказательства этого факта, который состоит в следующем.

a) Доказать, что Р(1) верно.

b) Доказать, что "если Р(1), Р{2),..., Р{п) справедливы, то Р{п + 1) также справедливо"; это доказательство должно иметь силу для любого целого положительного п.

В качестве примера рассмотрим следующие известные с древних времен равенства, которые многие исследователи открывали независимо друг от друга:

l = l

1 + 3 = 2,

1 + 3 + 5 = 3, Щ

l+3+5+7=4 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5

В общем виде эти равенства можно записать следующим образом:

l + 3 + --- + (2n-l) = n Щ

Давайте назовем это утверждение Р{п) и докажем, что оно верно для любого положительного п. Согласно методу, описанному выше, имеем следующее.

a) "Р(1) верно, так как 1 = 1."

b) "Если все утверждения Р{1),... ,Р{п) справедливы, то, в частности, верно и Р(п); следовательно, выполняется соотношение (2). Добавляя к обеим частям этого уравнения 2гг + 1, получаем

1 + 3 + • • + (2гг - 1) + (2гг + 1) = + 2гг + 1 = (п + 1)

Таким образом, утверждение Р(п + 1) также справедливо."

Этот метод можно считать алгоритмической процедурой доказательства. В самом деле, следующий алгоритм дает доказательство утверждения Р{п) для любого целого положительного п в предположении, что пп. (а) и (Ь) уже выполнены.

Алгоритм I (Построить доказательство). Для заданного целого положительного числа п этот алгоритм (рис. 2) выдаст доказательство того, что утверждение Р{п) верно.

11. [Доказать Р(1).] Присвоить /г 1 и в соответствии с п. (а) выдать доказательство утверждения Р(1).

12. [к - п?] Если к = п, закончить выполнение алгоритма; требуемое доказательство выдано.

13. [Доказать Р(к + 1).] Согласно п. (Ь) выдать доказательство того, что "Если все утверждения Р(1),.. • ,Р(А;) справедливы, то Р{к + 1) также справедливо". Вывести фразу "Мы уже доказали, что если утверждения Р(1),..., Р{к) верны, то верно и Р{к + 1)".

14. [Увеличить к.] Увеличить /г на 1 и перейти к шагу 12.

П. Доказать Р(1)

13. Доказать Р(к+1)

14. Увеличить к

Рис. 2. Алгоритм i: математическая индукция.

Поскольку этот алгоритм выдает доказательство утверждения Р{п) для любого заданного п, метод доказательства, сформулированный в пп. (а) и (Ь), логически обоснован. Он называется доказательством методом математической индукции.

Понятие математической индукции следует отличать от того, что в научной практике обычно называют индуктивным методом. Данный метод заключается в том, что ученый делает некоторые наблюдения и создает "по индукции" обшую теорию или выдвигает гипотезу, объясняюшую эти факты. Например, на основании пяти соотношений (1), приведенных выше, мы могли бы сформулировать соотношение (2). В этом смысле индукция - не более чем догадка или попытка объяснить-конкретную ситуацию; математики называют это эмпирическим результатом или предположением.

Для того чтобы прояснить суть дела, рассмотрим еще один поучительный при-! мер. Пусть р{п) обозначает количество разбиений числа п, т. е. количество различных способов записи числа.я в виде суммы целых положительных чисел (порядок слагаемых значения не имеет). Так как для числа 5 существует ровно семь таких способов записи, т. е.

1-Ы + 1-Ы + 1 = 2-ь1-Ы-Ы = 2 + 2-Ы = 3-ь1 + 1 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5,

то р{5) = 7. На самом деле установить первые пять значений функции р{п) довольно легко:

р(1) = 1, р(2) = 2, р(3) = 3, р(4) = 5, рЩ = 7.

На этом основании мы могли бы предварительно сформулировать по индукции предположение о том, что последовательность р(2), р(3), ... пробегает множество