используя десятичную арифметику, и вычесть полученный результат из (fc + 1) ведущих разрядов при помощи опять же десятичной арифметики. Если заданное число содержит {т+1) разрядов, то процесс прекращается через т шагов. Удачной оказалась идея ввода разделяющей точки для того, чтобы вьщелить удваиваемые разряды, как показано в следующем примере. Это помогает исключить возможные ошибки.

Пример 1. Преобразовать число {5325121)% в десятичный формат.

Ъ.З 2 5 1 2 1

- 1 О

4 3.2 5 1 2 1

- 8 6

3 AQ.5 1 2 1

- 6 9 2

2 1 1 3.1 2 1

- 5 5 4 6

2 2 1 8 5..2 /

- 4 4 3 7 0

1 7 7 4 8 2.i

- 3 5 4 9 6 4

1 4 1 9 8 5 7 Результат: (1419857)io.

Достаточно надежный способ проверки вычислений состоит в "выбрасывании девяток": сумма разрядов десятичного числа должна быть конгруэнтной по модулю 9 попеременно сумме и разности разрядов числа, представленного в восьмеричном формате, причем крайний справа разряд последнего числа берется со знаком "плюс". В вышеприведенном примере имеем l-f4-fl-f9-f8-f5-f7 = 35 и l-2-fl-5-f2-3-f5 = -1; разность равна 36 (кратна 9). Если проверка дала отрицательный результат, то она повторяется с {к + 1) ведущими разрядами после fc-ro шага и местоположение ошибки определяется при помощи процедуры двоичного поиска. Другими словами, можно определить, где произошла ошибка, начав с проверки среднего результата, и затем в зависимости от того, верен ли результат, применить ту же процедуру к первой или второй части вычислений.

Ввиду того, что существует один шанс из девяти, что два случайных целых числа будут отличаться по модулю девять, надежность процедуры выбрасывания девяток равна только 89%. Более надежный способ проверки - преобразовать результат обратно в восьмеричный формат с использованием обратного метода, который и будет сейчас рассмотрен.

Преобразование целых чисел, представленных в десятичном формате, в восьмеричный формат. Для выполнения обратного преобразования можно использовать аналогичную процедуру. Запишем заданное в десятичном формате число, удвоим на fc-м шаге к ведупщх разрядов, используя представление в восьмеричном формате, и сложим полученные (fc + 1) ведущих разрядов, опять же используя представление в восьмеричном формате. Для заданного числа, содержащего {т + 1) разрядов, процесс заканчивается через т шагов.

пример 2. Преобразовать число (1419857)io в восьмеричный формат.

/.4 1 9 8 5 7

+ 1

1 6.1 9 8 5 7 + 3 4

2 1 5.9 8 Ъ 7 + 4 3 2

2 6 1 3.8 Ъ 7 + 5 4 2 6

3 3 5 6 6.5 7 + 6 7 3 5 4

4 2 5 2 4 1-7 +10 5 2 5 0 2

5 3 2 5 1 2 1 Результат: {5325121)8-

(Заметим, что при вычислении восьмеричного представления присутствуют невосьмеричные цифры 8 и 9.) Проверка результата может быть выполнена описанным выше способом. Этот метод был опубликован Шарлем П. Розье (Charles Р. Rozier), IEEE Trans. СЕ-11 (1962), 708-709.

Обе описанные процедуры представляют собой, по существу, вариации метода 1, b обобщенного преобразования из одной системы счисления в другую. Операции удваивания и вычитания в десятичной системе счисления подобны умножению на 10 - 2 = 8. Операции удваивания и вычитания в восьмеричной системе счисления подобны умножению на 8 -f 2 = 10. Аналогичный метод существует и для преобразования из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, но это преобразование вьшолняется немного сложнее, так j<aK вместо операции умножения на 2 оно включает операцию умножения на 6.

Чтобы запомнить оба этих метода, нужно уяснить, что при переводе числа из восьмеричной системы счисления в десятичную вьшолняется вычитание, так как представление чисел в десятичном формате короче, чем в восьмеричном. Аналогично при переводе числа из представления в десятичном формате в восьмеричный необходимо выполнять сложение. Вычисления выполняются в формате представления результата, а не в исходном формате представления числа; в противном случае требуемый результат получен не будет.

Преобразование дробей. Аналогичные методы, пригодные для столь же быстрого преобразования вручную дробей, неизвестны. Похоже, что наилучшим является метод 2, а, в котором с целью упрощения операций умножения на 10 или 8 выполняются операции удвоения и сложения. В этом случае критерий выбора сложения и/или вычитания меняется на обратный - при преобразовании чисел в десятичный формат вьшолняется сложение, а при преобразовании чисел в восьмеричный формат вьшолняется вычитание. Кроме того, при вычислениях используется формат, в котором представлено исходное число, а не формат, в котором подставляется результат (см. приведенные ниже примеры 3 и 4). Реализация этого процесса требует примерно в два раза больше вычислений, чем рассмотренный выше метод преобразования целых чисел.

Пример 3. Преобразование числа (.14159)io в восьмеричный формат.

14 15 9

2 8 3 1 8-

Jf .1 3 2 7 2

2 6 5 4 4-

/.06176

1 2 3 5 2-

0.4 9 4 О 8 9 8 8 1 6-5.9 5 2 4 6 19 0 5 2 8-7.6 2 1 1 2 1 2 4 2 2 4-

..9 6 8 9 6 Результат: (. 110374... )8 Пример 4. Преобразование числа {.110374)» в десятичный формат.

.1 1 0 3 7 4 2 2 0 7 7 0 +

1.3 2 4 7 3 О 6 5 1 6 6 0 + 4.1 2 1 1 6 О 2 4 2 3 4 0 + 1.4 5 4 1 4 О 1 1 3 0 3 0 0+

5.6 7 1 7 О О 1 5 6 3 6 0 0+

8.5 О 2 6 О О 1 2 0 5 4 0 0 +

6.2 3 3 4 О О Результат: (. 141586...)io.

D. Преобразование чисел с плавающей точкой. При выполнении преобразований чисел с плавающей точкой необходимо одновременно выполнять операции как с целой частью числа, так и с дробной, поскольку преобразование целой части числа оказывает влияние на дробную часть. Для преобразования числа / • 2 в десятичный формат можно сначала представить 2 в виде F 10 (обычно при помощи вспомогательных таблиц) и затем уже преобразовать Ff в десятичный формат. Аналогично можно умножить е на logio 2 и затем округлить результат до ближайшего целого числа Е; после этого разделить f -2 на 10 и преобразовать результат. Обратно, для преобразован 1Я числа F • 10 в двоичный формат можно преобразовать F, а затем у.множить его на -пи-ю хи*-, представленное в формате с плавающей точкой (снова используя вспомогательные таблицы). Для уменьшения максимальных размеров вспомогательных таблиц используется обычная методика, основанная на применении нескольких операций умножения и/или деления, хотя это