котором сформулировал эту проблему как таковую, для которой он не смог найти удовлетворяющего его решения. Он писал: "В результате простых рассуждений я обнаружил, что Fn{x) = log(l + ж)/log2 для бесконечного п. Но все дальнейшие попытки, предпринятые мною для оценки F„(a;)-log(l+a;)/log2 для очень больших, но конечных значений п, были безуспешны". Гаусс так никогда и не опубликовал свои "очень простые рассуждения", поэтому не совсем ясно, нашел ли он строгое доказательство. [См. Gausss Werke, vol. 10, 552-556.] Прошло более ста лет, прежде чем такое доказательство было, наконец, опубликовано Р. О. Кузьминым в Atti del Congresso Internazionale del Matematici 6 (Bologna, 1928), 83-89, который показал, что

Fn{x)=lg{l + x) + Oie-)

для некоторой положительной константы А. Остаточный член 0{е~") был получен вскоре после этого Полем Леви (Paul Levy) [Bull. Soc. Math, de France 57 (1929), 178-194]*. Ho проблема, сформулированная Гауссом, которая заключается в поиске асимптотического поведения функции Fn{x) - lg(l +а;), фактически не была решена до 1974 года, пока Эдуард Вирсинг (Eduard Wirsing) не опубликовал ее блестящий анализ [Acta Arithmetica 24 (1974), 507-528]. Здесь мы исследуем самые простые аспекты приближения Вирсинга, поскольку его метод основан на использовании линейных операторов.

Если G - произвольная функция х, определенная на интервале О < ж < 1, то определим функцию SG в виде

sow = i;(g(1)-g()). (2г,

Таким образом, S есть оператор, переводящий функцию из одного состояния в другое. В частности, из соотношения (23) получаем F„+i(x) = SF„{x); тогда

Fn = S"Fo. (28)

(В даннам случае f„ означает функцию распределения, а не числа Фибоначчи.) Заметим, что S- "линейный оператор", т. е. S{cG) = c{SG) для всех постоянных с, nS{Gi +G2) = SGi +SG2.

Теперь, если для G существуют ограниченные первые производные, выражение (27) можно почленно продифференцировать и показать, что

так ЧТО функция SG также имеет ограниченную первую производную. (Почленное дифференцирование сходящегося ряда оправдано в том случае, когда равномерно сходится ряд, составленный из производных; см., например, К. Кпорр, Theory and Application of Infinite Series (Glasgow: Blackie, 1951), §47.)

* Изложение интересного доказательства Леви приведено в первом издании этой книги.

Пусть Я = SG и пусть д{х) = {l+x)G{x), h{x) = {l+x)H{x). Отсюда следует,

Е(/; + 1 +а; fc + a; Другими словами, h = Тд, где Т - линейный оператор, такой, что

Продолжая, увидим, что если для функции д существует ограниченная первая производная, то (30) можно почленно продифференцировать, чтобы показать, что это же утверждение справедливо и в отношении Тд:

/ fc A:-l\ 1 ,/ 1 \\

[k + l + x к + х) (к + хУ \к + х)у

~{lk + T+x}{{kTi) ~{k + l + x))

1 + х ,/ 1 \\

{к + х)Цк + 1 + х) [k + x)j

(К + XJ-K + 1 +X) \к + х

Соответственно существует третий линейный оператор U, такой, что {Тд) = -U{g), т. е.

Имеет ли все это отношение к сформулированной выше проблеме? Если положить

Fn{x) = lg{l + x) + R„{lg{l+x)), (32)

U{x) = {1 + х) f:{x) = + KiW + x))), (33)

TO получим

m = к (lg(l + x))/ ((In 2){l+x)). (34)

В результате выполненных преобразований исчезает эффект влияния члена Ig(l-l-x). Далее, так как F„ = 5"Fo, получаем /„ = Т"/о и = (-1)"[/"/о. По индукции обе функции Fn и /„ имеют ограниченные производные. Таким образом, равенство (34) приобретает вид

{-l)"R;{lg{l+x))={l+x){ln2)UV{x). (35)

Тогда Fo{x) = x, fo{x) = 1+хи /0(1) есть постоянная функция, равная 1. Покажем, что оператор [/" переводит постоянную функцию в функцию, принимающую очень малые значения, поэтому при О < ж < 1 значение Д{(а;) должно быть очень малым. Покажем также, что функция Rn{x) сама по себе мала. Так как выполняется соотношение Д„(0) = = О, согласно знакомой интерполяционной формуле

(см. упр. 4.6.4-15 для случая, когда xq = О, xi = х, Жг - 1) для произвольной функции п(ж), где О < „(ж) < 1 при О < ж < 1, функция Л„(ж) имеет вид

Rn{x) = -R:{Ux)). (36)

Таким образом, все сводится к попытке доказать, что [/" порождает функции с малыми значениями, где U - линейный оператор, определяемый уравнением (31). Заметим, что U - положительный оператор в том смысле, что если для всех ж (/з(ж) > О, то и U(p{x) > 0. Отсюда следует, что оператор U сохраняет порядок: если (/31 (ж) < (р2{х) для всех ж, то U(pi{x) < U(p2{x) для всех ж.

Один из способов использования этого свойства заключается в поиске функции if, для которой можно вычислить точное значение Utpn использовать константу, кратную этому значению функции, для определения верхней границы интересующей нас функции. Сначала рассмотрим такую функцию д, чтобы можно было легко вычислить значение Тд. Если рассмотреть функции, определенные для всех ж > О, а не только на отрезке [О.. 1], то можно исключить в (27) суммирование, заметив, что для непрерывной функции G вьшолняется соотношение

5G(x + 1) - SG(.) = g{j) - Ito C(ji) = o{) - G(0). (37)

Из того, что Г((1 + x)G) = (1 -f x){SGy, следует (см. упр. 20)

Тд{х) Tg{l + x)f 1 1 \ / 1 N .gg

И-ж 2 + ж U-f-ж 2 + х)\1 + х)

Если положить, что Тд{х) = 1/(1 -I- ж), то находим, что соответствующее значение функции д{х) равно 1 + ж - 1/(1 -f- ж). Положим ip{x) = д{х) = 1 + 1/(1 -I- ж), так что Uip{x) = -(Гр)(ж) = 1/(1 -f- ж). Функция if и является искомой функцией.

При таком выборе функции ip получаем 2 < ip{x)/Uip{x) = (1 -I- ж) -I-1 < 5 при О < ж < 1. Следовательно,

y<Uip<

Так как функции U к положительны, можно снова применить оператор U к этому неравенству и получить < Uip < Uip < Uif < \ip. После (n - l)-ro воздействия оператора U на неравенство получаем для конкретного значения хр следующее выражение:

5-"( < f/"( < 2-V- (39)

Пусть х{х) - fo(x) = 1 - постоянная функция. Тогда для О < ж < 1 имеем х < < 2х, откуда

5-"х < 5-"( < < [/"х < 1 f/V < 2-"( < 2-"х-

Из равенства (35) следует, что

(1п 2)5-" < (-1)"<(ж) < f (In 2)2-" для О < ж < 1.