большие п, чтобы получить более надежный критерий. В приведенном выше примере п = 144, пр2 равнялось только 4 и эмпирическое правило было нарушено. Это объясняется только тем, что автору просто надоело бросать игральные кости; это привело к тому, что значения табл. 1 оказались менее подходящими. Эксперимент, проведенный на компьютере при п = 1000 или 10 ООО, или даже 100 ООО, был бы намного лучше рассмотренного нами. Мы могли также объединить данные при s = 2 и s = 12; этот критерий имел бы только 9 степеней свободы, но аппроксимация была бы более точной.

Можно пояснить, насколько груба аппроксимация, если рассмотреть случай только двух категорий, имеющих вероятности pi и рг- Предположим, = и Р2 = I. В соответствии со сформулированным эмпирическим правилом необходимо провести более двадцати наблюдений, п > 20, чтобы иметь удовлетворительную точность. Давайте это проверим. Когда п - 20, возможные значения V будут такими: (Fi - 5р/5 -Ь (5 - Yi)/15 = -г для -5 < г < 15. Теперь посмотрим, насколько точно в первой строке {и = 1) табл. 1 описывается распределение V.

-распределение непрерывно, в то время как распределение V имеет довольно большие скачки, поэтому нужно сделать несколько замечаний, прежде чем представить точное распределение. Если различные возможные исходы эксперимента приводят к величинам Vq <Vi < • • • < V„ с соответствующими вероятностями ло, тгь ..., л-„, то

предположим, что заданная вероятность р попадает в интервал ло -I-----1-7г 1 < р <

тго -I-----l-ttj-i -l-ttj. Найдем такую "процентную точку" х, где V меньше х с вероятностью <рнУ больше X с вероятностью < 1 - р. Нетрудно видеть, что существует только одно такое число, а именно - х = Vj. В нашем примере для п = 20 п и = 1 оказывается, что процентные точки для точного распределения, соответственно аппроксимации в табл. 1 для р = 1%, 5%, 25%, 50%, 75%, 95% и 99%, равны

О, О, .27, .27, 1.07, 4.27, 6.67

(с точностью до двух десятичных знаков). Например, процентная точка для р = 95% равна 4.27, тогда как приближенное значение в табл. 1 равно 3.841, что существенно меньше. Поэтому, если пользоваться таблицей, следует отнести значение V = 4.27 за 95%-й уровень, на самом же деле вероятность того, что V > 4.27, больше 6.5%. Когда п = 21, ситуация, меняется мало, поскольку средние значения npi = 5.25 и прг = 15.75 могут никогда не достигаться точно. Процентные точки для п = 21 равны

.02, .02, .14, .40, 1.29, 3.57, 5.73.

Можно было бы ожидать, что значения из табл. 1 дадут лучшее приближение при п = 50, но соответствующая таблица, оказывается, в некоторых аспектах еще больше отличается от табл. 1, чем при п = 20:

.03, .03, .03, .67, 1.31, 3.23, 6.

Приведем значения при п = 300:

О, О, .07, .44, 1.44, 4, 6.42.

Даже в этом случае, когда пра > 75 для каждой категории, значения в табл. 1 хороши только относительно одной значащей цифры.

Вопрос о правильном выборе п достаточно сложен. Если игральные кости действительно несимметричны, то это будет проявляться все больше и больше при

Диапазон V 0-1%, 99-100% 1-5% , 95-99% 5-10%, 90-95%

Указание

Обозначение

Отбросить Подозрительный Почти подозрительный

Рис. 2. Указания "значимости" отклонения х-критерия при Л = 90 (см. также рис. 5).

возрастании п (см. упр. 12). Но при больших значениях п имеет место тенденция к сглаживанию локального неслучайного поведения, когда блоки чисел со строгим смещением следуют за блоками чисел с противоположным смещением. При реальном бросании игральных костей сглаживания локального неслучайного поведения можно не опасаться, так как одни и те же игральные кости используются во время всего эксперимента, но последовательность случайных чисел, генерируемых компьютером, может очень часто демонстрировать такие аномалии. Возможно, х критерий следовало бы применять для нескольких разных значений п. Во всяком случае, значения п должны быть по возможности большими.

Теперь можно окончательно описать х-критерий следующим образом. Выполняется достаточно большое число п независимых наблюдений. (Важно избегать использования х-критерия при зависимых наблюдениях. См., например, упр. 10, в котором рассмотрен случай, когда одна половина наблюдений зависит от другой.) Подсчитываем число наблюдений, относящихся к каждой из к категорий, и величину V, приведенную в формулах (6) и (8). Затем V сравниваем с числами из табл. 1 при и = к - 1. "Если V меньше 1%-й точки или больше 99%-й точки, отбрасываем эти числа как недостаточно случайные. (Если быть более точными, то отбрасываем следующую гипотезу: вероятности того, что наблюдения относятся к категории s, равны Ра- - Прим. ред.) Если V лежит между 1%- и 5%-й точками или между 95%- и 99%-й точками, то эти числа "подозрительны"; если (интерполируя таблицу) V лежит между 5%- и 10%-й точками или 90%- и 95%-й точками, числа можно считать "почти подозрительными". Проверка по х-критерию часто производится три раза (и более) с разными данными. Если по крайней мере два из трех результатов оказьтаются подозрительными, то числа рассматриваются как недостаточно случайные.

Например, на рис. 2 схематично показаны результаты применения пяти различных типов х-критерия для каждой из шести последовательностей случайных чисел. Каждой проверке подвергались три различных блока чисел последовательности. Генератор А - это метод Мак-Ларена-Марсалья (MacLaren-Marsaglia) (алгоритм 3.2.2М, примененный к последовательности в 3.2.2-(13)). Генератор Е - это метод

1=0 1=5 1=1

1=0 1=5 1=1

1 = 9.3 1 = 18.3 1 = 6.7 1 = 12.6

Рис. 3. Примеры функций распределения.

Фибоначчи (Fibonacci), 3.2.2-(5), а другие генераторы - это линейные конгруэнтные последовательности со следующими параметрами.

Хо = 0, 0 = 3141592653, с = 2718281829, т = 2. Хо = 0, 0 = 2 + 1, с=1, m = 23 Хо = 47594118, а = 23, с = О, m = 10» + 1. Хо = 314159265, а = 2* + 1, с = 1, m = 25.

Генератор В Генератор С Генератор D Генератор F

Из рис. 2 заключаем, что (как следует из результатов проверки) генераторы А, В, D удовлетворительны, генератор С находится на границе и его следовало бы отбросить, генераторы Е и F, безусловно, неудовлетворительны. Генератор F имеет, конечно, низкий потенциал; генераторы С и D уже обсуждались в литературе, но их множители слишком малы. (Генератор D - оригинальный мультипликативный генератор, предложенный Лехмером (Lehmer) в 1948 году; генератор С - оригинальный линейный конгруэнтный генератор с с Ф О, предложенный Ротенбергом (Rotenberg) в 1960 году.)

Вместо терминов "подозрительный", "почти подозрительный" и т. д. для описания результатов применения х-критерия можно, кстати, использовать процедуру, обсуждаемую ниже в этом разделе.

В. Критерий Колмогорова-Смирнова. Как мы уже видели, х-критерий применяется в ситуациях, когда наблюдения могут относиться только к конечному числу категорий. Однако совершенно небесполезно рассматривать случайные величины, которые принимают бесконечное множество значений, такие как случайные дроби (случайные действительные числа между О и 1). Хотя только конечное множество