Группы для KZ

Рис. 5. КС-критерии, примененные к тем же данным, которые представлены на рис. 2.

большое для строгой проверки и (Ь) слова "отбросить", "подозрительные", "почти подозрительные", упорядочивающие критерий, сами выглядят подозрительно.

(Несправедливо обвинять Лехмера, что он использовал "плохой" генератор случайных чисел в 40-х годах, так как он применял этот генератор D совершенно правильно. Компьютер ENIAC был машиной параллельноро действия, и программы заносились в нее штепсельным коммутатором. Лехмер сделал так, что его сумматоры постоянно умножали собственное содержимое на 23 (по модулю 10® -I- 1), поставляя новые значения каждые несколько микросекунд. Поскольку множитель 23 очень мал и известно, что каждое значение, полученное таким образом, также зависит от предыдущего значения, его нельзя рассматривать в качестве достаточно случайного. Но время между действительным использованием величин в специальных сумматорах с помощью сопутствующих программ было достаточно большим и постоянно менялось. Поэтому на самом деле множитель был равен 23* для достаточно больших, но меняющихся значений fc.)

С. История, библиография и теория, х-критерий был предложен Карлом Пирсоном (Pearson) в 1900 году [Philosophical Magazine, Series 5, 50, 157-175]. Его замечательная работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привел несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10! Общее обсуждение х-критерия и

обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена (Willianl G. Cochran, Annals Math. Stat. 23 (1952), 315-345).

Рассмотрим вкратце теорию, лежашую в основе х-критерия. Легко увидеть, что точные вероятности того, что Yi = yi,... ,Yk = Ук, равны

рГ---рГ- (17)

Если предположить, что Ys принимает значение j/j с вероятностью Пуассона

в-"Р(пр,)! У si

и что Yi независимы, то (Fi,..., У) будет равен (yi,... ,ук) с вероятностью

* е-"Р(пр,)!

и Fi +----h Ffc будет равно п с вероятностью

Е П

yi4-----\-Ук=п s=l

!/i,.-,!/fc>0

Если предположить, что они независимы, кроме того, что выполняется условие Fi н-----h Ffc = п (т. е. Fi,..., Fj; i независимы, а Yk выражается через FiF с помощью этого равенства. - Прим. ред.), вероятность, что (Fi,..., Ft) = (yi,..., Ук)-равна отношению

f Л е~"("Р»)Л / fe""""

которое, в свою очередь, равно (17). Поэтому можно рассматривать F, s = 1, ..., fc - 1 как независимые случайные величины, имеющие распределение Пуассона и

такие, что Fj = п.

Теперь удобно сделать замену переменных,

Z. = (18)

поэтому V = Zi +----h Z. Условие Yi +----1- Ft = n эквивалентно требованию

y/pIZi + --- + VPZk=0. (19)

Рассмотрим теперь {к - 1)-мерное пространство S векторов {Zi,...,Zk), таких, что выполняется (19). Для больших значений п каждое Zg имеет приближенно нормальное распределение (см. упр. 1.2.10-15). Поэтому вероятность попасть в дифференциальный объем dz2 .. dzk области S приближенно пропорциональна величине ехр (-(1 -I-----h г)/2). (Именно из-за этого х-критерий можно использо-

вать только при больших п.) Вероятность, что V <v, равна

4i.....z.)B5HzH-+zg<. exp {-{zl + + zl)/2) dZ2 ...dZk

/(zx,...,z.)B5exp(-(2f + --- + 22)/2) dZ2...dZk

Так как гиперплоскость (19) проходит через начало координат fc-мерного пространства, в числителе (20) интегрируем по (fc - 1)-мерной гиперсфере с центром в начале координат. Перейдя к обобщенным полярным координатам с радиусом х и углами .., Wfc 2, преобразуем (20) в

4=<f e"*/x*~V(wi,...,Wfc 2)dxdwi ...dwfc 2

/ e->cyx~fiui,-..,Uk-2)dxdtJi...dtJk-2

где / - некоторая известная функция (см. упр. 15). Интегрирование по переменным wi,..., Uk-2 дает постоянный множитель в числителе и знаменателе, который сокращается. Окончательно для приближенной вероятности того, что V < v, получаем формулу

loe-fx-Ux

!Г e-xVx- dx

В (21) для переменной интегрирования используем символ "х" так же, как Пирсон в своей основополагающей работе. Вот откуда происходит название х-кри-терия. Если заменить переменную в интеграле t = X?I2, то интегралы можно выразить в терминах неполной гамма-функции, сведения о которой содержатся в разделе 1.2.11.3. Наконец, приведем определение х-распределения с fc - 1 степенью свободы

u.pr(v<.).,(i,0/r(ixi). (И)

Сейчас вернемся к КС-критерию. В 1933 году А. Н. Колмогоров предложил критерий, основанный на статистике

Кп = у/ max Fn(x) - F(x)\ = тах(К:,К-). (23)

-оо<х<+оо

Н. В. Смирнов рассмотрел несколько модификаций этого критерия в 1939 году, предлагая, кстати, проверять отдельно статистики и К~, как мы это делали выше. Существует большая группа модификаций критерия Колмогорова, но статистики и К~, кажется, лучше всего подходят для использования на компьютере. Обширный обзор литературы, посвященной КС-критериям и их обобщениям, можно найти в монографии Дж. Дурбина (J. Durbin, RegionaJ Conf. Series on Applied Math. 9 (SIAM, 1973)).

Для того чтобы изучить распределения К:} и К~, начнем со следующего основного факта. Если X - случайная величина с непрерывной функцией распределения F(x), то F(X) - это случайная величина, равномерно распределенная между О и 1. Чтобы доказать это, достаточно проверить, что если О < у < 1, то F{X)< у с вероятностью у. Так как F непрерывна, существует такое xq, что F(a;o) = У- Поэтому вероятность, что F{X) < у, равна вероятности, что X < xq. По определению xq последняя вероятность равна F(a;o), а это число, в свою очередь, равно у.