Пусть Yj = nF{Xj) для 1 < j < n, где X„ должны быть рассортированы, как на шаге 2 перед формулой (13). Поэтому случайные величины Yj независимы и имеют одно и то же распределение, а именно - равномерное распределение между О и п. Они рассортированы в порядке неубывания Yi < Y2 < < Yn, и первое равенство в (13) может быть преобразовано следующим образом:

/Г = 4= max(l - П, 2 - У2, • , п - Yn).

Если О < t < п, вероятность, что < t/y/n, равна, следовательно, вероятности того, что Yj > j -t для всех 1 < j < п. Это легко выразить в терминах п-мерных интегралов:

Cdynm,dyn-i...C,dyi

-рг---Tjjji--, где aj = max{j -t,0). 24)

Jo dynJo dyn-i ... /0" dyi

Знаменатель здесь вычисляется моментально; он равен п"/п1. Это выражение имеет смысл, так как гиперкуб всех векторов (j/i,2/2, • • •,Уп), таких, что О <yj < п, имеет объем п" и может быть разделен на п! равных частей, каждая из которых соответствует одному из возможных способов упорядочения yi. Найти интеграл, стоящий в числителе, немного труднее. Но его можно вычислить методом, предложенным в упр. 17, и получить общую формулу:

\n-k~l

= 1-;?; Е ()(*-<)« + >-Ч"-- (26)

t<k<n

Распределение К~ точно такое же. Равенство (26) впервые получено Н. В. Смирновым [Успехи маг. наук 10 (1944), 176-206] (см. также работу 3. В. Бирнбаума и Фреда X. Тинги (Z. W. Birnbaum and Fred Н. Tingey, Annals Math. Stat. 22 (1951), 592-596)). Смирнов вывел также асимптотическую формулу

Рг(К+ <s) = l- е- (1 - I/V + 0(1/п)) (27)

для всех фиксированных s > О, что привело к получению приближенных значений для больших п, которые приведены в табл. 2.

Биномиальная теорема Абеля, равенство 1.2.6-(1б), показывает, что равенства (25) и (26) эквивалентны. Можно расширить табл. 2, используя ту либо другую формулу. Существует интересный компромисс: хотя сумма в (25) имеет лишь около sy/n членов, когда s = t/n, она должна вычисляться с помощью арифметики с многократной точностью, поскольку члены большие и их главные цифры сокращаются. Но такая проблема не возникает в (26), так как члены этой формулы положительны, но (26) имеет п - Sy/n членов.

УПРАЖНЕНИЯ

1. [00] Какую строку х-таблицы следовало бы использовать, чтобы проверить, будет ли величина V = 7 формулы (5) невероятно большой?

2. [20] Пусть две игральные кости "устроены" так, что на одной из них 1 будет выпадать вдвое чаще, чем любое другое значение, а на другой 6 будет выпадать вдвое чаще, чем любое другое значение. Найдите вероятность р, того, что сумма показаний на двух игральных костях равна точно s, 2 < s < 12.

► 3. [23] Игральные кости устроены так, как описано в предыдущем упражнении. Они были брошены 144 раза, и получились следующие значения.

Значение s=23 4 5 6 7 8 9 10 И 12 Число наблюдений Y, = 2 6 10 16 18 32 20 13 16 9 2

Примените х-критерий к этим значениям, используя вероятности из (1) и считая, что игральные кости на самом деле не поддельные. Определит ли х-критерий, что кости плохие? Если нет, объясните, почему.

► 4. [23] На самим деле автор получил данные эксперимента 1 из (9), моделируя игральные кости, одна из которых была нормальна, а другая всегда давала только значения 1 или 6. (Причем обозначения появлялись с равными вероятностями.) Подсчитайте вероятности, которыми можно заменить (1) в этом случае, и, используя х-критерий, решите, соответствуют ли результаты эксперимента такому устройству игральных костей.

5. [22] Пусть F{x) - равномерное распределение (см. рис. 3, (Ь)). Найдите К20 и К20 для следующих 20 наблюдений:

0.414, 0.732, 0.236, 0.162, 0.259, 0.442, 0.189, 0.693, 0.098, 0.302, 0.442, 0.434, 0.141, 0.017, 0.318, 0.869, 0.772, 0.678, 0.354, 0.718.

Проверьте, будут ли наблюдения значимо отличаться от ожидаемого поведения по отношению к каждой из двух проверок.

6. [М20] Пусть Fn (ж) задано формулой (10) для фиксированного ж. Чему равна вероятность, что Fn{x) = s/n, для заданного целого s? Чему равно среднее значение Fn{x)? Чему равно стандартное отклонение?

7. [М15] Покажите, что и никогда не могут быть отрицательными. Какое наиболее возможное значение может иметь Ki ?

8. [00] В разделе описывается эксперимент, в котором 20 значений статистики К были получены при изучении случайной последовательности. Эти значения были нанесены на график, чтобы получить рис. 4. КС-статистика была подсчитана с помощью этого графика. Почему для изучения полученной статистики вместо таблицы при п = 10 использовались табличные значения для п = 20?

► 9. [20] Описанный в разделе эксперимент состоит в том, что 20 значений К, вычисленных с помощью критерия "максимум-5", который применялся к различным частям случайной последовательности, наносятся на график. Мы подсчитали также соответствующие 20 значений Кд, поскольку Kig так же распределены, как и Кд. Теперь можно объединить 40 значений, полученных таким образом (т. е. 20 значений AJq и 20 значений Kq), опять применить КС-критерий и получить новые значения Кд и Кд. Обсудите ценность этой идеи.

► 10. [20] Предположим, что х-статистика подсчитана по результатам п наблюдений, т. е. пoлJчeнo значение V. Повторим подсчет статистики, используя те же п наблюдений (конечно, получится такой же результат). Затем суммируем данные обоих испытаний, рассматривая их как единственный х-критерий с 2п наблюдениями. (Эта процедура нарушает требование независимости всех наблюдений, которое было выдвинуто в разделе: все наблюдения должны быть независимыми.) Каково соотношение между этими двумя значениями V?

11. [10] Выполните упр. 10, заменив х-критерий КС-критерием.

12. [М28] Пусть подсчет х-критерия основан на множестве, состоящем из п наблюдений, в предположении, что - вероятность того, что каждое наблюдение соответствует категории S. Предположим, что на самом деле вероятность отнесения наблюдения к категории S равна q, ф ps (см. упр. 3). Хотелось бы, конечно, чтобы х-критерий обнаружил тот факт, что предположения ps неверны. Покажите, что это произойдет, если п достаточно велико. Докажите аналогичный результат и для КС-критерия.

13. [М24] Докажите, что равенства (13) эквивалентны равенствам (И).

► 14. [НМ26] Пусть задано равенством (18). Покажите, непосредственно используя формулу Стирлинга, что полиномиальные вероятности

п!рГ • • • pI-/Yi l...Ykl = e-7v/(2nT)*-V---P-t+ Oin),

если Zi,Z2,..-;Zk ограничены при n оо. (Эта идея ведет к обоснованию х-критерия; она ближе к "основным принципам" и требует меньше усилий, чем доказательство, приведенное в разделе.)

15. [НМ24] Полярные координаты в двумерном пространстве определяются равенствами X = rcosd я у = rsinO. При интегрировании справедливо равенство dxdy - гdrdO. Для более общего п-мерного пространства можно положить

ж* = rsini.. .sint-i cost, 1 < fc < n, и a;„ = rsini .. .sinn-i-

Покажите, что в этом случае

dxi dx2... dXn = г"" sin"" 5i... sin5„ 2 drdOi... dOn-il

► 16. [HM35] Обобщите теорему 1.2.И.ЗА, чтобы найти значение

7(а; + \,х + zs/2x + у)/Т{х + 1)

для больших х и фиксированных y,z. Опустите члены ответа, иьеющие порядок 0(1/а;). Используйте этот результат, чтобы найти приближенное решение t уравнения

(is) А©-

для больших V и фиксированных р, таким образом получив асимптотические формулы, приведенные в табл. 1. [Указание. См. упр. 1.2.11.3-8.]

17. [НМ26] Пусть t - фиксированное число. Для О < fc < п положим

Рпк{х)= I dxn / dxw-\ ... / dxk+\ / dxk I dx\;

Jn-t Jn-l-t Jk + l-t Jo Jo

no определению пусть Poo{x) = 1. Докажите следующие соотношения.

a) Pnk{x)= I dxn I dxn-i ... dxk+i / dXk ... dxi.

Jn Jn-1 Jk+1 Jt Jt

b) Pno{x) = (x 4- 07"! - ( + 0"V(" - 1)!-

c) Pnk(x) - Pn{k-i){x) = Pn-k)o{x - fc), если 1 < fc < n.

d) Кроме того, получите o6uiyro формулу для Рпк{х) и примените ее к вычислению (24).

18. [М20] Найдите "простое" объяснение, почему имеет то же распределение, что