Глубокий анализ древних клинописных табличек, обнаруженных археологами на Среднем Востоке, который выполнен историками математики в 20 столетии, показал, что вавилоняне применяли фактически две различные системы представления чисел. Числа, которые использовались при ведении повседневных деловых записей, записывались при помощи унаследованных от более ранних цивилизаций Месопотамии обозначений, основанных на группировании по десяткам, сотням и т. д. При этом необходимость в операциях с большими числами возникала редко. При решении более сложных математических задач вавилонские математики широко использовали шестидесятеричную (по основанию шестьдесят) позиционную систему, достаточно хорошо разработанную к 1750 г. до н. э. Эта числовая система была уникальной в том смысле, что она фактически была формой представления с плавающей точкой с опущенным показателем степени; соответствующий масштабный множитель, или степень шестидесяти, определялся из контекста, так что, например, числа 2, 120, 7200, и т. д. записывались одинаково. Особенно удобно было пользоваться этой системой для умножения и деления при помощи вспомогательных таблиц, поскольку выравнивание порядков никак не влияло на ответ. Примером такой вавилонской системы записи может служить выписка из древних таблиц "Квадрат 30 есть 15" (что можно прочесть, как "Квадрат \ есть j"; "Число, обратное 81 = (1 21)бо, равно (44 26 40)бо"; "Квадрат этого числа равен (32 55 18 31 6 40)бо"). У вавилонян был символ для обозначения нуля, но из-за их идеологии обращения с плавающей точкой он использовался между цифрами, но никогда - в крайней справа позиции для обозначения масштаба. Об интересной истории ранней вавилонской математики можно прочесть в книгах О. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity (Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1952), B. L. van der Waerden, Science Awakening, переведенной на английский A. Дрезденом (A. Dresden) (Groningen: P. Noordhoff, 1954)*, a также D. E. Knuth, CACM 15 (1972), 671-677; 19 (1976), 108.

Позиционная система с фиксированной точкой, очеви;дно, впервые появилась в Центральной Америке у индейцев Майя около 2 ООО лет тому назад. Их система счисления по основанию двадцать была достаточно хорошо продуманной, особенно если учесть потребности в записи астрономических наблюдений и календарных дат.

Индейцы Центральной Америки ввели в употребление письменный знак для нуля около 200 г. н. э. Однако испанские завоеватели уничтожили почти все книги Майя по истории и науке, поэто.му нам трудно судить об уровне абстракции, достигнутом аборигенами Америки в арифметике. Были найдены таблицы умножения специального назначения, но не обнаружено никаких примеров по делению. (См. J. EricS. Thompson, Contributions to Amer. Anthropology and History 7 (Carnegie Inst, of Washington, 1941), 37-67; J. Justeson, "Ancient Mesoamerican computing practices". History of Science 3 (Rome: Istituto della Enciclopedia Itahana), в печати.)

За несколько столетий до новой эры греки применяли для своих вычислений раннюю разновидность счетной доски (абаки), используя песок и/или гальку на доске с начерченными строками и столбцами, которые естественным образом соответствуют нашей десятичной системе. Нам, привыкшим выполнять расчеты при помощи карандаша и бумаги, скорее всего, покажется странным, что тот же позиционный принцип никогда не применялся ими для записи чисел, ведь мы так к нему

* Имеется русский перевод книги: Б. Л. Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука, Физматгиз, 1959. - Прим. перев.

привыкли. Но большая простота вычислений на абаке (писать тогда умели далеко не все; кроме того, вычисления на абаке делали ненужным запоминание таблиц сложения и умножения), вероятно, привела греков к убеждению, что нелепо даже предполагать, что вычисления удобнее вьшолнять, "царапая на бумаге". В то же время греческие астрономы для записи дробей использовали шестидесятеричную систему счисления, чему они научились у вавилонян.

Привычная нам десятичная система, отличающаяся от более ранних форм прежде всего наличием фиксированной разделяющей точки, а также использованием символа нуля для обозначения пустой позиции, впервые появилась в Индии. Точная дата возникновения этой системы неизвестна, но есть основания полагать, что это произошло около 6 в. н. э. Индусская наука того времени достигла довольно высокого уровня развития, в частности это относится к астрономии. В наиболее ранних известных индийских манускриптах, в которых применяется десятичная система, числа записываются в обратном порядке (с наиболее значимой цифрой справа), но позднее стало правилом расположение наиболее значимой цифры слева.

Около 750 г. н. э. на арабский язык было переведено несколько важных работ индусских математиков, и принципы десятичной арифметики таким образом попали в Персию. Живописное описание этого периода можно найти в древнееврейской рукописи Абрахама Ибн Эзра (Abraham Ibn Ezra), перевод которой на английский язык опубликован в журнале АММ 25 (1918), 99-108. Вскоре после этого аль-Хорезми написал на арабском языке свое руководство. (Как отмечалось в главе 1, слово "алгоритм" произошло от его имени.) Книга аль-Хорезми была переведена на латынь и оказала значительное влияние на Леонардо Пизано (Фибоначчи) (Leonardo Pisano (Fibonacci)), чья книга по арифметике (1202 г.), в свою очередь, сыграла решающую роль в распространении индо-арабских методов работы с числами в Европе. Интересно отметить, что в результате такого двойного перевода порядок записи чисел (слева направо) не изменился, хотя 4ipa6bi пишут справа налево, а индусы и европейцы - слева направо. Подробно процесс распространения десятичной нумерации и арифметики по всей Европе с 1200 по 1600 год описан в книге David Eugene Smith History of Mathematics 1 (Boston: Ginn and Co., 1923), гл. 6 и 8.

Вначале десятичная система счисления применялась только к целым числам (для операций с дробями она не использовалась). Арабские астрономы, которым для составления карт звездного неба и других астрономических таблиц приходилось применять дроби, продолжали пользоваться системой знаменитого греческого астронома Птолемея, основанной на шестидесятеричных дробях. Эта система единиц - рудимент шестидесятеричной системы вавилонян - дожила до наших дней и используется для измерения угловых градусов, минут и секунд, а также для некоторых единиц измерения времени. Использовались первыми европейскими математиками и шестидесятеричные дроби, когда приходилось иметь дело с нецелыми числами. К примеру, Фибоначчи приводил значение

1° 22 7" 42" 33 4 40

в качестве приближенного корня уравнения + 2х + lOz = 20. (Правильный ответ: Г 22 7" 42" ЗЗ 4 38" 30" 50" 15 43 ....)

Кажется, не так уж много нужно изменить, чтобы использовать десятичные обозначения для десятых, сотых и других угловых и временных параметров, но.

конечно, ломать традиции всегда трудно, тем более что шестидесятеричные дроби имеют преимущество перед десятичными дробями в том, что такие числа, как , могут быть записаны точно и просто.

Китайские математики - кстати, никогда не пользовавшиеся шестидесятерич-ной системой, - вероятно, были первыми, кто стал работать с величинами, эквивалентными десятичным дробям, хотя их числовая система (без нуля) и не была в строгом смысле позиционной. Китайские единицы мер и весов были десятичными, так что Цзу Чун-Чи (умер в 501 г.) смог аппроксимировать число тг в следующем виде:

3 чана, 1 чжи, 4 цуня, 1 фэн, 5 ли, 9 хао, 2 мяо, 7 ху.

Здесь чан, ху - единицы длины; 1 ху (диаметр шелковой нити) равен 1/10 мяо и т. д. Использование дробей, столь похожих на десятичные, получило в Китае довольно широкое распространение после примерно 1250 года. Начальная форма истинно десятичных дробей появилась в 10 веке в трактате по арифметике, написанном в Дамаске неизвестным математиком, который подписался именем "аль-Уклидиси" (последователь Евклида). Он ввел обозначение места размещения десятичной точки, в частности в связи с проблемой умножения 135 на (1.1)" для 1 < п < 5. (См. А. S. Saidan, The Arithmetic of al-Uqlidisi (Dordrecht: D. Reidel, 1975), 110, 114, 343, 355, 481-485.) Ho аль-Уклидиси не развил идею до конца, и его трактат вскоре был забыт. Из датированного 1172 годом трактата аль-Самайяля, который жил и работал в Багдаде и Баку, следует, что ему был известен способ вычисления \/10 = 3.162277... , но он не нашел подходящего способа записи результата. Через несколько столетий десятичные дроби были заново открыты арабским (среднеазиатским) математиком аль-Каши, умершим в 1429 году*. Аль-Каши был весьма искусен в выполнении всяческих вычислений и нашел следующее значение для 27г, содержащее 16 правильных десятичных знаков.

Это было наилучшее приближение к тг до тех пор, пока Лудольф ван Цейлен (Lu-dolph van Ceulen), выполнив в течение 1596-1610 годов огромный объем работ, не вычислил 35 десятичных знаков.

Самый ранний пример операций с десятичными дробями в Европе обнаружен в одном тексте, написанном в 15 веке, где, например, 153.5 умножается на 16.25 и в ответе получается 2494.375. Используемый при этом метод был назван "турецким". В 1525 году Кристоф Рудольф (Christof Rudolff) из Германии самостоятельно открыл десятичные дроби, но, как и работа аль-Уклидиси, его работа осталась практически незамеченной. Франсуа Виет (Frangois Viete) эту идею высказал снова в 1579 году. Наконец, в 1585 году приобрел популярность трактат по арифметике, написанный Симоном Стевином (Simon Stevin) из Бельгии, который самостоятельно пришел к идее десятичных дробей. Работа Стевина и последовавшее вскоре открытие логарифмов привели к тому, что в течение 17 века десятичные дроби стали общепринятыми повсюду в Европе. [Подробности и ссылки на литературу можно

* в БСЭ приведен другой год смерти - около 1436-1437. - Прим. перев.