найти в книгах D. Е. Smith, History of Mathematics 2 (Boston: Ginn and Co., 1925), 228-247, и V. J. Katz, A History of Mathematics (New York: HarperCollins, 1993).]

Двоичная система счисления имеет собственную интересную историю. Известно, что многие племена, ведщие в наше время первобытный образ жизни, используют двоичную, или парную, систему счета (группирование по два, а не по пять или десять), но было бы ошибкой утверждать, что они действительно считают в двоичной системе, так как при этом степени двойки никоим образом не выделяются. Интересные подробности о примитивных числовых системах можно найти в статье Abraham Seidenberg The Diffusion of Counting Practices Univ. of Calif Publ. in Math. 3 (1960), 215-300. Другой "примитивный" пример двоичной системы - музыкальная нотация (для обозначения ритма и длительности нот). В 17 веке предметом обсуждения в Европе были недесятичные системы. В течение многих лет астрономы от случая к случаю использовали шестидесятеричную арифметику как для целых, так и для дробных частей чисел, главным образо.м, при выполнении умножения (см. John WaUis, Treatise of Algebra (Oxford, 1685), 18-22, 30). Тот факт, что любое целое, большее 1, может служить основанием для системы счисления, впервые опубликован около 1658 года Блезом Паскалем (Blaise Pascal) в De Numeiis Multiplicibus. [См. полное собрание сочинений Паскаля (Euvres Completes (Paris: Editions du Seuil, 1963), 84-89.] Паскаль писал: "Denaria enim ex instituto hominum, non ex necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita est", т. e. "Десятичная система построена довольно неразумно, в соответствии с человеческими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей". Он утверждал, что было бы желательно перейти к двенадцатеричной (по основанию двенадцать) системе, и предложил правило проверки делимости двенадцатеричного числа на 9. Эрхард Вайгель (Erhard Weigel) в ряде публикаций начиная с 1673 года пытался пробудить интерес к четверичной (по основанию четыре) системе счисления. Подробное обсуждение арифметики по основанию двенадцать было проведено Джошуа Джордэйном (Joshua Jordaine) в работе Duodecimal Arithmetick (London, 1687).

Хотя в арифметике на протяжении всей этой эпохи применялась почти исключительно десятичная система счисления, системы мер и весов редко основывались (если вообще основывались) на кратности десяти, и для ведения многих торговых операций требовалась изрядная доля умения складывать величины наподобие фунтов, шиллингов и пенсов. Поэтому на протяжении столетий купцы учились складывать и вычитать величины, выражаемые специфическими денежными единицами, единицами мер и весов, а это фактически была арифметика в недесятичной системе счисления. Особого внимания заслуживают, в частности, основные единицы измерения объема жидкости в Англии, установившиеся еще в 13 веке или даже раньше.

2 джила = 1 полуштоф 2 полуштофа = 1 пинта 2 пинты = 1 кварта 2 кварты = 1 потл

2 потла = 1 галлон 2 галлона = 1 пек

2 пека = 1 полубушель 2 полубушеля = 1 бушель или фиркин

2 фиркина = 1 килдеркин 2 килдеркина = 1 баррель 2 барреля = 1 хогсхед 2 хогсхеда = 1 пайп 2 пайпа = 1 тан

Объемы жидкости, выраженные в галлонах, потлах, квартах, пинтах и т. д., по существу, записывались в двоичной системе. Быть может, подлинными изобретателями двоичной арифметики были английские виноторговцы!

Насколько сейчас известно, впервые чисто двоичная система счисления появилась в 1605 году в нескольких неопубликованных работах Томаса Хэрриота (Thomas Harriot) (1560-1621). Хэрриот был личностью творческой и приобрел известность по прибытии в Америку в качестве представителя сэра Уолтера Рэлея (Walter Raleigh). Он изобрел (среди всего прочего) символы для обозначения отношений "меньше" и "больше", используемые и ныне, но по некоторым соображениям предпочел не публиковать большинство своих открытий. Выдержки из его заметок по двоичной арифметике воспроизведены Джоном У. Ширли (John W. Shirley) в журнале Amer. J. Physics 19 (1951), 452-454. Впервые заметки Хэрриота относительно двоичной системы были процитированы Морли (Morley) и появились в журнале The Scientific Monthly 14 (1922), 60-66.

Первый опубликованный анализ двоичной системы появился в работе испанского священника Хуана де Карамюэля Лобковица (Juan de Caramuel Lobkowitz) Mathesis Biceps 1 (Campaniae, 1670), 45-48. Карамюэль рассмотрел представление чисел в системах по основаниям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 и 60, но не привел никаких примеров арифметических операций в недесятичных системах, кроме шестидесяте-ричной системы.

Наконец, статья Г. В. Лейбница (G. W. Leibniz) Memoires de IAcademie Royale des Sciences (Paris, 1703), 110-116, в которой были описаны сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе, действительно привлекла к этой системе всеобщее внимание, и и.менно на эту статью ссылаются, говоря о рождении арифметики по основанию 2. Лейбниц и в дальнейшем очень часто обращался к двоичной системе счисления. Он не рекомендовал ее для практических вычислений, однако подчеркивал важность этой системы в теории чисел, так как закономерности поведения числовых последовательностей часто гораздо легче усмотреть в двоичной записи, чем в десятичной. Он также вкладывал некий мистический смысл в тот факт, что все в мире можно выразить с помощью нулей и единиц. Неопубликованные работы Лейбница показывают, что он интересовался двоичной системой счисления еще в 1679 году, когда ссылался на нее как на систему "bimal" (аналогично "десятичной").

Подробное исследование ранних работ Лейбница по двоичным числам выполнено Гансом И. Захером (Hans J. Zacher) в работе Die Hauptschriften zur Dyadik von G. W. Leibniz (Frankfurt am Main: Klostermann, 1973). Захер отмечал, что, предложив способ вычислений при помощи камней, ориентированных на использование абаки по основанию 2, Лейбниц стал близок к так называемой "локаль-

ной арифметике" Джона Непера. Непер в 1617 году опубликовал идею локальной арифметики в приложении к своей маленькой книге Rhabdologia. Эта идея может трактоваться как первая в мире "двоичная машина", тем более что она была самой дешевой машиной в мире, хотя Непер и чувствовал, что это не машина, а, скорее, игрушка. (См. обзор Мартина Гарднера (Martin Gardner) Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments (New York: Freeman, 1986), гл. 8.)

Интересно отметить, что в то время важная концепция отрицательных степеней числа справа от разделяющей точки еще не была по-настоящему осознана. Лейбниц попросил Якова Бернулли (James Bernoulli) вычислить тг в двоичной системе счисления, и Бернулли решил задачу. Он вычислил 35-значное приближение к тг, умножил его на 10, а затем, выразив полученное целое число в двоичной системе счисления, получил искомый ответ! Для меньшего масштабного множителя это рассуждение выглядело бы как тг и 3.14, а (314)io = (100111010)2; следовательно, тг в двоичной системе счисления равно 100111010! (См. Leibniz, Math. Schriften, edited by К. Gehrhardt, 3 (Halle, 1855), 97; из-за ошибок в вычислениях два из 118 бит в ответе неверны.) Бернулли, скорее всего, выполнил эти вычисления, чтобы в таком представлении числа тг выявить какие-либо простые закономерности.

Шведский король Карл XII, математический талант которого, возможно, превосходил таланты всех остальных королей в мировой истории, около 1717 года увлекся восьмеричной арифметикой. Скорее всего, это было его собственное изобретение, хотя он и встречался с Лейбницем в 1707 году. Карлу казалось, что основание 8 или 64 было бы более удобным для вычислений, чем 10, и он собирался ввести восьмеричную систему в Швеции, но погиб в битве, так и не успев провести эту реформу. (См. Сочинения Вольтера (Voltaire) 21 (Paris, Е. R. DuMont, 1901), 49; Е. Swedenborg, Gentlemans Magazine 24 (1754), 423-424.)

Восьмеричная система счисления была также предложена в Американских колониях Хью Джонсом (Hugh Jones), профессором колледжа "Уильям и Мэри" около 1750 года (см. Gentlemans Magazine 15 (1745), 377-379; Н. R. Phalen, АММ 56 (1949), 461-465).

Спустя столетие выдающийся американский инженер, швед по национальности, Джон Нистром (John W. Nystrom) решил сделать еще один шаг в развитии идей Карла XII и предложил полную систему нумерации, мер и весов, основанную на шестнадцатеричной арифметике. Он писал: "Я не боюсь и не колеблюсь выступить в защиту двоичной системы в арифметике и метрологии. Я знаю, на моей стороне природа; если мне не удастся убедить вас в ее полезности и чрезвычайной важности для человечества, это не сделает чести ни нашему поколению, ни нашим ученым и философам". Нистром разработал специальные правила произношения шестнадца-теричных чисел; например, (C0160)i6 следовало читать как "вибонг, бисантон" (vy-bong, bysanton). Полная система была им названа тональной и описана в J. Franklin Inst. 46 (1863), 263-275, 337-348, 402-407. Аналогичная система, но использующая основание 8, была предложена Альфредом Б. Тэйлором (Alfred В. Taylor) и описана в Ргос. Amer. Pharmaceutical Assoc. 8 (1859), 115-216; Ргос. Amer. Philosophical Soc. 24 (1887), 296-366.

Co времен Лейбница двоичная система счисления становится хорошо известной диковинкой, и Р. К. Арчибальд (R. С. Archibald) собрал более 20 посвященных ей ранних работ [АММ 25 (1918), 139-142]. Она применялась, главным образом, для