4.2. АРИФМЕТИКА ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ

В этом РАЗДЕЛЕ рассмотрены основные принципы выполнения арифметических операций над числами с "плавающей точкой" и проанализирован внутренний механизм таких вычислений. Вероятно, у многих читателей данная тема не вызовет слишком большого интереса либо потому, что в вычислительных машинах, на которых они работают, имеются встроенные команды операций над числами с плавающей точкой, либо потому, что нужные подпрограммы содержатся в операционной системе. Но не следует считать, что материал этого раздела относится исключительно к компетенции инженеров - конструкторов ЭВМ или узкого круга лиц, которые пишут системные подпрограммы для новых машин. Каждый грамотный программист должен иметь представление о том, что происходит при выполнении элементарных шагов арифметических операций над числами с плавающей точкой. Предмет этот совсем не так тривиален, как принято считать; в нем удивительно много интересного.

4.2.1. Вычисления с однократной точностью

А. Обозначение чисел с плавающей точкой. В разделе 4.1 были рассмотрены различные способы обозначения чисел с фиксированной точкой. При таком способе обозначения программист знает, где положено находиться разделяющей точке в числах, с которыми выполняются те или иные операции. В некоторых ситуациях при выполнении программы значительно удобнее сделать положение разделяющей точки динамически изменяющимся, иными словами, сделать точку "плавающей" и связать с каждым числом информацию о ее положении. Эта идея уже давно использовалась в научных расчетах, в особенности для представления очень больших чисел наподобие числа Авогадро = 6.02214 х 10 или таких очень малых чисел, как постоянная Планка h = 6.6261 х 10~ эрг-с.

В этом разделе речь пойдет о р-разрядных числах с плавающей точкой по основанию b с избытком q. Такое число представляется парой величин (е,/), которой отвечает значение

(е,/)=/хЬ«-«. (1)

Здесь е - целое число, изменяющееся в соответствующем интервале значений, а / - дробное число со знаком. Условимся, что

1/1 < 1,

иными словами, разделяющая точка в позиционном представлении / находится в крайней слева позиции. Точнее говоря, соглашение о том, что мы имеем дело с р-разрядными числами, означает, что bf - целое число и

-Ь" < bPf < b". (2)

Термин "двоичное число с плавающей точкой", как всегда, будет означать, что 6 = 2, термин "десятичное число с плавающей точкой" - что 6 = 10 и т. д. Используя 8-разрядные десятичные числа с плавающей точкой с избытком 50, можно, например, написать

число Авогадро = (74, -I-.60221400);

постоянная Планка Л = (24,-I-.66261000).

Две компоненты, ей/, числа с плавающей точкой называются его порядком и дробной частью соответственно. (Иногда используются и другие названия, особенно "характеристика" и "мантисса"; однако слово "мантисса" для обозначения дробной части приводит к путанице в терминологии, так как этот термин употребляется совсем в другом смысле в теории логарифмов и, кроме того, английское слово "mantissa" означает "мало дающее добавление".)

В компьютере MIX числа с плавающей точкой имеют вид

Это представление с плавающей точкой по основанию Ь с избытком q, с четырьмя значащими "цифрами", где Ь есть размер байта (т. е. 6 = 64 или Ь - 100) и q равняется \\Ь\. Дробная часть равна ± , а порядок и е находится в интервале О < е < Ь. Такое внутреннее представление - типичный пример соглашений, которые приняты в большинстве существующих компьютеров, хотя основание Ь здесь гораздо больше, чем обычно используемое.

В. Нормализованные вычисления. Число с плавающей точкой (е,/) является нормализованным, либо если наиболее значимая цифра в представлении / отлична от нуля, так что

1/Ь < 1/1 < 1, (5)

либо если / = О, а е принимает наименьшее возможное значение. Чтобы установить, какое из двух нор.мализованных чисел с плавающей точкой имеет большую величину, достаточно сравнить их порядки; только если порядки равны, нужно анализировать и дробные части.

Большинство ныне применяемых стандартных подпрограмм работает почти исключительно с нормализованными числами: предполагается, что входные значения для подпрограмм нормализованы, а результаты всегда нормализуются. При реализации этих соглашений в системных библиотеках мы теряем возможность представлять некоторые числа очень малой величины (например, значение (О, .00000001) не может быть нормализовано без формирования отрицательного порядка), но мы вьшгрьшаем в скорости, единообразии и получаем возможность сравнительно легко ограничить относительную ошибку вычислений. (Арифметика ненормализованных чисел с плавающей точкой будет рассмотрена в разделе 4.2.2.)

Рассмотрим теперь арифметические операции над нормализованными числами с плавающей точкой подробнее. Попутно затронем и структуру подпрограмм, реализующих эти операции (предполагая, что в нашем распоряжении имеется компьютер без аппаратной реализации этих арифметических операций).

В стандартных подпрограммах для выполнения арифметических действий над числами с плавающей точкой, написанных на машинном языке, в очень большой степени используются крайне специфические особенности конкретной модели компьютера. Именно поэтому так мало сходства между двумя подпрограммами, скажем, сложения чисел с плавающей точкой, написанными для разных машин. Все же тщательный анализ большого числа подпрограмм как для двоичных, так и для десятичных компьютеров показывает, что в действительности данные программы имеют много общего, и обсуждение этой темы, вполне возможно, не зависит от конкретной машины.

Al. Распаковать

Обеспечить выполнение условия ви > Bv

Установить ей

ей >ev

Проверить Си - ву

Рис. 2. Сложение чисел с плавающей точкой.

Первый (и наиболее трудный!) из алгоритмов, обсуждаемых в этом разделе,- это процедура сложения чисел с плавающей точкой:

(е„,/„) © (е„,Л) = (е„,/„).

Ввиду того что арифметические действия над числами с плавающей точкой являются по самой своей сути приближенными, а не точными, для обозначения операций сложения, вычитания, умножения и деления с плавающей точкой здесь будут использоваться "округленные" символы

©, е, ®, 0,

чтобы отличать приближенные операции от точных.

Идея, лежащая в основе сложения с плавающей точкой, довольно проста. Полагая, что е„ > е„, формируем результат по принципу = е„, fw = fu + Л/6"~" (таким образом, выравнивается положение разделяющих точек и соответственно положение разрядов слагаемых), а затем нормализуем результат. Может возникнуть несколько ситуаций, которые делают выполнение этого процесса нетривиальным; более- точное описание метода дается в следующем алгоритме.

Алгоритм А {Сложение чисел с плавающей точкой). Для заданных р-разрядных нормализованных чисел с плавающей точкой и = {eu,fu) и v = (ev,fv) по основанию Ь с избытком q строится сумма tv = u®v. Данный алгоритм (рис. 2) можно использовать и для вычитания чисел с плавающей точкой, если v заменить на -v.

Al. [Распаковать.] Выделить порядок и дробную часть в представлениях для и и v.