А2. [Обеспечить выполнение условия Си > е„.] Если < е„, поменять местами и и V. (Во многих случаях удобнее совместить шаг А2 с шагом А1 или с каким-нибудь из последующих шагов.)

A3. [Установить €„,.] Установить <- е„.

А4. [Проверить - е„.] Если - е„ > Р + 2 (большая разница в порядках), установить fw fu перейти к шагу А7. (Так как предполагается, что и нормализовано, на этом выполнение алгоритма можно было бы и закончить, но часто полезно использовать операцию сложения с нулем для гарантированной нормализации любого, возможно, и ненормализованного, числа.)

А5. [Масштабировать, сдвинув вправо.] Сдвинуть /„ вправо на - е„ позиций, т. е. разделить на [Замечание. Величина сдвига может достигать

р -f 1 разрядов, вследствие чего для выполнения следующего шага (сложения дробной части /и с /„) потребуется аккумулятор, способный хранить 2p-f 1 цифр по основанию b справа от позиционной точки. Если такого вместительного аккумулятора нет, можно сократить сдвиг до р -f 2 или р -f 3 разрядов, но с соответствующими предосторожностями; подробности обсуждаются в упр. 5.]

А6. [Сложить.] Установить fw fu + fv

А7. [Нормализовать.] (В этот момент {ew,fw) представляет сумму ы и w, но /и, может содержать более р цифр и может быть больше единицы или меньше 1/Ь.) Выполнить описываемый ниже алгоритм N, который нормализует и округлит (е», /ш), а также сформирует окончательный результат.

Алгоритм N (Нормализация). "Грубый порядок" е и "сырая дробная часть" / приводятся к нормализованному вид> с округлением при необходимости до р разрядов. В этом алгоритме (рис. 3) предполагается, что / < Ь.

N1. [Проверить /.] Если / > 1 (переполнение дробной части), перейти к шагу N4. Если / = О, установить в равным его наименьшему значению и перейти к шагу N7.

N2. [/ нормализовано?] Если / > 1/6, перейти к шагу N5.

N3. [Масштабировать, сдвинув влево.] Сдвинуть / на один разряд влево (т. е. умножить на Ь) и уменьшить е на 1. Возвратиться к шагу N2.

N4. [Масштабировать, сдвинув вправо.] Сдвинуть / вправо на один разряд (т. е. разделить на Ь) и увеличить е на 1.

N5. [Округлить.] Округлить f до р разрядов; (Это означает, что / изменяется до ближайшего кратного Ь~р. Возможно, что (6/) mod 1 = , т. е. имеется два ближайших кратных. Если b четно, то заменяем / ближайшим кратным 6", таким, что bf + b нечетно (обозначим результат округления в таком случае через /). Более подробное обсуждение аспектов округления приводится в разделе 4.2.2.) Важно отметить, что операция округления может привести к равенству / = 1 (переполнение при округлении); в такой ситуации следует вернуться к шагу N4.

N6. [Проверить е.] Если порядок е слишком велик, т. е. больше допустимой границы, это воспринимается, как выполнение условия переполнения порядка. Если е слишком мал, это воспринимается, как выполнение условия исчезновения

Масштабировать, сдвинув вправо

/ нормализовано?

Переполнение при округлении

Переполнение или исчезновение порядка

Рис. 3. Нормализация (е,/).

порядка. (Дополнительная информация по этому вопросу приводится ниже; эти ситуации интерпретируются обычно, как сигнал об ошибке, в том смысле, что результат не может быть представлен в виде нормализованного числа с плавающей точкой из требуемого интервала значений.)

N7. [Упаковать.] Объединить порядок е и дробную часть / для выдачи искомого результата.

Несколько простых примеров сложения чисел с плавающей точкой рассматривается в упр. 4.

Приведенные ниже подпрограммы для сложения и вычитания на компьютере MIX чисел, имеющих форгиу (4), служат примером программной реализации алгоритмов А и N. Эти подпрограммы извлекают одно входное значение и по символическому адресу АСС, другое входное значение v извлекается из регистра А при входе в подпрограмму. Результат w одновременно появляется в регистре Айв поле АСС. Таким образом, последовательность команд

LDA А; ADD В; SUB С; STA D,

работающих с числами с фиксированной точкой, соответствовала бы такой последовательности команд, работающих с числами с плавающей точкой:

LDA А, STA АСС; LDA В, JMP FADD; LDA С, JMP FSUB; STA D.

Программа А {Сложение, вычитание и нормализация). Следующая программа представляет собой подпрограмму, реализующую алгоритм А, причем она построена таким образом, что нормализующий фрагмент может использоваться другими

подпрограммами, которые будут рассмотрены ниже. Как в этой программе, так и во многих других программах данной главы, идентификатор OFLO именует подпрограмму, которая печатает сообщение о том, что индикатор переполнения машины MIX внезапно перешел в состояние "включено". Предполагается, что размер байта b кратен 4. В подпрограмме нормализации NORM предполагается, что г12 = е и гАХ = /, где гА = О влечет за собой гХ = О и г12 < Ь.