к сожалению, некоторые программисты во многих случаях пренебрегают исчезновением порядка. Они просто полагают, что исчезающе малые результаты равны нулю без индикации ошибки. Часто это приводит к серьезной потере точности (а на самом деле к потере всех значащих цифр), что нарушает соглашения, принятые в операциях над числами с плавающей точкой. Таким образом, системная подпрограмма действительно должна информировать прикладного программиста об исчезновении порядка. Приравнивание результата к нулю допустимо только в отдельных случаях, когда результат должен складываться со значительно большей величиной. Если исчезновение порядка не фиксируется, то возникают таинственные ситуации, когда {и <g) v) ® w равно нулю, а и ® {v ® w) нет, поскольку, скажем, умножение и ® t; приводит к исчезновению порядка, а ы ® (г» ® ш) вычисляется и без выхода порядков за пределы допустимого интервала. Подобным же образом можно найти пять таких положительных чисел о, Ь, с, d и у, что

(о®2/ © Ь)0{с0у е d) « ,

(о е 60 2/) 0 (с е d0 2/) = 1,

если исчезновение порядка не фиксируется (см. упр. 9). Даже с учетом того, что подпрограммы арифметики с плавающей точкой не идеально точны, такие несуразные результаты, как (И), совсем уж неожиданны для случая, когда все числа а, Ь, с, d и у положительны] Исчезновение порядка обычно не предугадывается программистом, так что ему следует об этом сообщать*.

3) Попадание "мусора". При выполнении сдвига влево необходимо проследить, чтобы в освобождающиеся разряды справа не было введено чего-либо, отличного от нулей. Например, обратите внимание на команду ENTX О в строке 21 программы А и "слишком легко забываемую" команду ENTX О в строке 04 подпрограммы FLOT в (10). (Но было бы ошибкой очищать регистр X после строки 27 в подпрограмме деления.)

4) Непредусмотренное переполнение при округлении. Когда число наподобие .999999997 округляется до 8 цифр, происходит перенос влево от десятичной точки и результат сдвигается вправо. Многие ошибочно считали, что в ходе выполнения

* С другой стороны, нужно отметить, что современные языки программирования высокого уровня предоставляют программисту (или вовсе не предоставляют) весьма ограниченные возможности использования информации, содержащейся в стандартных программах арифметики с плавающей точкой. Подпрограммы для MIX, которые представлены в этом разделе, просто останавливают работу, обнаружив такую ситуацию, а это отнюдь не выход. Существует множество приложений, для которых исчезновение порядка относительно безвредно, и потому желательно найти способ, пользуясь которым программист смог бы просто и безопасно для приложения справиться с возникшей проблемой. Практика подстановки "втихомолку" нуля вместо результата с исчезнувшим порядком себя полностью дискредитировала, но существует альтернатива, которая в последнее время завоевывает все большую популярность. Ее суть в том, чтобы модифицировать самое определение формата представления чисел с плавающей точкой, допуская существование ненормализованной дробной части в случае, если порядок имеет минимальное допустимое значение. Эта идея "постепенной потери значимости" впервые была реализована в компьютере Electrologica Х8; она лишь незначительно усложнила алгоритмы выполнения операций, но совершенно исключила возможность исчезновения порядка при сложении и вычитании. Рассмотрение этой идеи выходит за рамки данной книги, поэтому в простых формулах анализа относительной ошибки вычислений в разделе 4.2.2 появление постепенной потери значимости не учитывается. Тем не менее, используя формулы, подобные round(i) = х(1 - S) + е, где \S\ < 6"р/2 и £ < 6~р~/2, можно показать, что формат с постепенной потерей значимости успешно срабатывает во многих важных случаях. (См. W. М. Kahan and J. Palmer, ACM SIGNUM Newsletter (October, 1979), 13-21.)

умножения переполнение при округлении невозможно, так как максимальное значение \fufv \ равно 1-26~Р + 6Р, а это число не может округлиться до 1. Ошибочность такого рассуждения продемонстрирована в упр. 11. Любопытно, что переполнение при округлении действительно невозможно при делении чисел с плавающей точкой (см. упр. 12).

Существует направление, представители которого утверждают, что можно безболезненно "округлять" .999999997 до .99999999, а не до 1.0000000, поскольку последний результат представляет все числа из интервала

[1.0000000 - 5 x 10-* .. 1.0000000 + 5 x 10"% в то время как .99999999 представляет все числа из гораздо меньшего интервала

(.99999999 - 5 х 10" .. .99999999 + 5 х 10"). Хотя второй интервал и не содержит исходного числа .999999997, каждое число из второго интервала содержится в первом, так что последующие вычисления со вторым интервалом не менее точны, чем с первым. Но этот довод несовместим с математической идеологией арифметики с плавающей точкой, представленной ниже, в разделе 4.2.2.

5) Округление до нормализации. Неточность результата порождается и преждевременным округлением в неверных цифровых разрядах. Эта ошибка очевидна, когда округление производится слева от соответствующего разряда. Она также опасна в менее очевидном случае, когда округление сначала выполняется намного правее, а затем - в истинном разряде. По этой причине ошибочно осуществлять округление в ходе операции "сдвиг вправо" на шаге Ао; исключением является случай, рассмотренный в упр. 5. (Однако специальный случай округления на шаге N5, а затем повторного округления уже после переполнения при округлении безобиден, потому что переполнение при округлении всегда приводит к значению ±1.0000000, которое не меняется в результате последующей процедуры округления.)

6) Невозможность сохранения достаточной точности в промежуточных вычислениях. Детальный анализ точности арифметических операций с плавающей точкой, проводимый в следующем разделе, показывает, что нормализующие программы арифметики с плавающей точкой должны всегда обеспечивать максимальную точность подходящим образом округленного результата. Не должно быть никаких отступлений от этого принципа, даже в тех случаях, появление которых предельно маловероятно. Надлежащее число значащих цифр следует сохранять в ходе всех промежуточных вычислений, как реализовано в алгоритмах А и М.

С. Аппаратная реализация арифметических действий над числами с плавающей точкой, в арсенале почти каждой большой ЭВМ, предназначенной для научных расчетов, содержатся встроенные операции и команды арифметических операций над числами с плавающей точкой. К несчастью, в аппаратных реализациях таких команд обычно присутствуют некоторые дефекты, приводящие при определенных обстоятельствах к удручающе скверному поведению машины, и, надо надеяться, в будущем создатели вычислительной техники будут уделять больше внимания данному вопросу. Затраты на это очень малы, и соображения, представленные в следующем разделе, показывают, какой выигрыш может быть достигнут. Из того, что сегодня известно, следует, что для современных компьютеров не подходят вчерашние компромиссные решения.

Компьютер MIX, используемый в этой серии книг как пример "типичной" вычислительной машины, оснащается средством расширения для работы с числами в формате с плавающей точкой - арифметическим расширителем. Он доступен за небольшую дополнительную сумму и обеспечивает выполнение следующих шести команд на аппаратном уровне.

• FADD, FSUB, FMUL, FDIV, FLOT, FCMP (С = 1, 2, 3, 4, 5, 56 соответственно; F = 6). Содержимое регистра гА после выполнения команды FADD V такое же, как и содержимое гА после выполнения команд

STA АСС; LDA V; JMP FADD. Здесь FADD - подпрограмма, которая уже появлялась выше в этом разделе, но оба операнда автоматически нормализуются непосредственно перед входом в подпрограмму, если они еще не были нормализованы. (Если во время предварительной нормализации, но не во время нормализации результата, возникает исчезновение порядка, вызьшающая программа о нем не извещается.) Аналогичные замечания относятся к операциям FSUB, FMUL и FDIV. Содержимое регистра гА после выполнения операции FLOT совпадает с его же содержимым после выполнения команды JMP FLOT в подпрограмме (10). Содержимое гА не искажается командой FCMP V. Эта команда устанавливает индикатор сравнения в состояние LESS, EQUAL или GREATER в зависимости от того, будет ли содержимое гА "заметно меньше, чем", "примерно равно" или "заметно больше, чем" V, как обсуждается в следующем разделе. Работа этой команды в точности моделируется подпрограммой FCMP из упр. 4.2.2-17 с EPSILON в ячейке 0.

Ни одна из команд арифметики с плавающей точкой не воздействует ни на какой другой регистр, помимо гА. Если происходит переполнение или исчезновение порядка, то включается индикатор переполнения и указывается порядок результата по модулю размера байта. Попытка деления на нуль оставляет в регистре гА "мусор" (произвольное значение). Времена выполнения: 4и, 4ы, 9и, Ни, Зи и 4ы соответственно.

• FIX (С = 5; F = 7). Содержимое гА заменяется целым числом "round(rA)", округленным до ближайшего целого, как на шаге N5 алгоритма N. Однако, если этот результат слишком велик и не вмещается в разрядную сетку регистра, устанавливается индикатор переполнения и результат должен трактоваться как неопределенный. Время выполнения: Зи.

Иногда полезно использовать операторы арифметики с плавающей точкой нестандартным образом. Например, если бы операция FLOT не была реализована как часть арифметического расширителя компьютера MIX, можно было бы легко обеспечить ее выполнение для 4-байтовых чисел, написав маленькую подпрограмму

FLOT STJ 9F SLA 1

FADD =0= 9Н JMP * I

Эта программа не эквивалентна команде FLOT, так как в ней предполагается, что 1:1 байт регистра гА равен нулю; кроме того, она портит содержимое регистра гХ.