законов, существующих в отношении вычисляемых функций, например

(cos) (-х) = (cos) х; (со)а;<1; (cos) а; > (cos) j/при О < х < 1/< 7Г.

(b) Программы вычислений с однократной точностью - это "хлеб насущный" на каждый день, который должен быть доступен каждому, кто хочет работать с арифметикой с плавающей точкой. А удвоенная точность обычно используется в ситуациях, когда "чистые" результаты не так уж и важны. Разница между вычислениями с семью или восемью значащими разрядами достаточно заметна, а разница между вычислениями с 15 или 16 разрядами нас не очень беспокоит. Вычисления с удвоенной точностью чаще всего используются на промежуточных этапах решения сложной задачи с однократной точностью, а потому в полном спектре возможностей таких проце,дур нет необходимости.

(c) Весьма поучительно проанализировать эти процедуры с тем, чтобы увидеть, насколько серьезной может быть ошибка, поскольку источники ошибок типичны и для "плохих" подпрограмм, работающих с однократной точностью (см. упр. 7 и 8).

Рассмотрим теперь с этой точки зрения операции сложения и вычитания. Вычитание, естественно, заменяется сложением с инвертированием знака второго слагаемого. Для выполнения сложения используется раздельное сложение менее значимых и более значимых половин, обеспечивая при этом, разумеется, надлежащую обработку переноса.

Сложности возникают, однако, вследствие использования прямого кода: можно, сложив менее значимые половины, получить неверный знак (эта ситуация возникает, когда знаки операндов противоположны и менее значимая половина меньшего операнда больше менее значимой половины большего операнда). Простейшее решение- заранее определить правильный знак. Поэтому на шаге А2 алгоритма 4.2.1А нужно положить не только условие е„ > е„, но и \и\ > \v\. Тогда можно быть уверенным в том, что знак результата будет знаком и. В прочих отношениях программа сложения с удвоенной точностью очень похожа на программу с однократной точностью, но все выполняется дважды.

Программа А {Сложение с удвоенной точностью). Подпрограмма DFADD складывает число удвоенной точности с плавающей точкой и, имеющее формат (1), с числом удвоенной точности в формате с плавающей точкой и. Причем предполагается, что V перед началом выполнения программы занесено в гАХ (регистры А и X), а u первоначально хранится в ячейках АСС и АССХ. Результат появляется одновременно в гАХ и в (АСС, АССХ). Подпрограмма DFSUB вычитает v из и при соблюдении тех же соглашений.

Предполагается, что оба входных операнда нормализованы и результат также нормализован. Заключительный фрагмент программы представляет собой процедуру нормализации в формате с удвоенной точностью, используемую и в других подпрограммах этого раздела. В упр. 5 показано, как можно существенно усовершенствовать эту программу.

01 ABS EQU 1:5 Определение поля для абсолютного значения.

02 SIGN EQU О: О Определение поля для знака.

03 EXPD EQU 1:2 Поле порядка для формата с удвоенной точностью.

04 DFSUB STA TEMP Вычитание с удвоенной точностью.

05 LDAN TEMP Изменить знак v.

06 DFADD

07 08 09 10 11

12 IH

Ц 15 16 17

18 2H

38 IH

41 DNORM 42

43 DZERO

45 2H 46

47 IH 48

49 50 51 52 53 54 55

STJ CMPA JG JL

CMPX

ENTl

MOVE

LDIN

INCl

SLAX

SRAX

SLAX

SLAX

ENTX

SRAX

DECA

EXITDF

ACC(ABS)

ACCX(ABS)

ARGX

ACCX

ARG(2)

TEMP

TEMP(EXPD)

ACC(EXPD)

1.1 ARG ARGX

ARGX(SIGN)

ACCX

EXPO 1

IF(SIGN) ARGX(0:4) 4 1

ACC(0:4) ARG

JANZ IF JXNZ IF STA ACC JMP 9F SLAX 1 DEC2 1

CMPA =0=(1:1) JE 2B SRAX 2 STA ACC LDA EXPO INCA 0,2 JAN EXPUND STA ACC(EXPD) CMPA =1(3:3)=

Сложение с удвоенной точностью. Сравнить \v\ с

Если t; > \и\, произвести взаимную замену и v.

(АСС и АССХ находятся в

последовательных ячейках.)

гИ •(--ev.

г12 •(- е„.

гИ +- ви - eti.

Удалить порядок.

Масштабирование посредством сдвига вправо.

О VI V2 V3 1)4

Vi V6 V7 VS Vg.

Запомнить верный знак v в обеих половинах. (Известно, что и имеет знак результата.) гАХ 4- и. Удалить порядок.

Ui U2 из U4 «5-

EXPO +- 1 (см. ниже).

1 U5 ие U7 Ug.

См. комментарии в тексте.

Сложить О 1)5 Ve V7 Dg.

Восстановить после занесения 1 (знак варьируется). Сложить более значимые половины. (Переполнения быть не может.)

Подпрограмма нормализации, в гАХ, = EXPO + rI2.

Если fu, = О, присвоить Cui +- 0.

Нормализовать влево. Ведущий байт нулевой? (Округление опущено.) Вычислить порядок результата. Он отрицателен? Он занимает более двух байтов?

Рис. 4. Умножение с удвоенной точностью чисел, имеющих дробные части длиной 8 байт.

Переслать ответ в гА. Выход из подпрограммы.

Аккумулятор для чисел с плавающей точкой.

Часть "грубого" порядка.

Когда в этой подпрограмме складываются менее значимые половины, в то слово, о котором известно, что оно имеет верный знак, слева вставляется дополнительный разряд "1". После выполнения сложения этот байт может равняться О, 1 или 2 в зависимости от обстоятельств и все эти три случая обрабатываются одновременно. (Ср. данный фрагмент с довольно громоздким методом формирования дополнения, который использовался в программе 4.2.1 А.)

Стоит отметить, что после выполнения команды в строке 40 регистр А может оказаться равным нулю, но аккумулятор будет содержать правильный знак, который должен быть приписан результату, если регистр X не равен нулю (это есть следствие способа, с помощью которого в компьютере MIX определяется знак результата, равного нулю). Поменяй мы местами строки 39 и 40, программа давала бы неверный результат, хотя обе команды имеют один и тот же код "ADD"!

Рассмотрим теперь умножение с удвоенной точностью. Произведение имеет четыре компоненты, схематически представленные на рис. 4. Так как нам нужны только восемь крайних слева байтов, можем игнорировать разряды, расположенные справа от вертикальной черты на диаграмме. В частности, это означает, что нет необходимости даже вычислять произведение двух менее значимых половин.

Программа М {Умножение с удвоенной точностью). Соглащения относительно входных и выходных данных для этой подпрограммы те же, что и для программы А.

01 BYTE EQU

02 QQ EQU

03 DFMUL STJ

04 STA

1(4:4) BYTE*BYTE/2 EXITDF TEMP

05 06

SLAX 2 STA ARG

Размер байта.

Избыток порядка удвоенной точности. Умножение с удвоенной точностью.

Удалить порядок.