Обратите внимание на аккуратное обращение со знаками в этой программе, а также на тот факт, что диапазон представления порядков позволяет вычислять порядок результата при помощи индексного регистра. Программа М, вероятно, несколько "хромает" в отношении точности, так как она использует только информацию, расположенную на рис. 4 слева от вертикальной черты, а это может привести к ошибке до-двух единиц в наименее значимом байте. Как достичь несколько большей точности, вы узнаете из упр. 4.

Программа деления с удвоенной точностью чисел в формате с плавающей точкой- самая трудная или, по крайней мере, самая страшная на вид из всех программ, которые до сих пор рассматривались в этой главе. На самом деле она не такая уж сложная, если разобраться в принципе ее работы. Запишем пару чисел, участвующих в делении, в виде {um + eui)/{vm + eu(), где е - величина, обратная размеру машинного слова, причем предполагается, что число нормализовано. Эту дробь можно разложить в ряд:

Um + eUl Um + eul

Vm Um + eUj

\ + c{vi/Vm), V \VmJ \VmJ

Так как О < \vi\ < 1 и 1/Ь < \vm\ < 1, получим \vi/vm\ < b и можно пренебречь ошибкой, связанной с отбрасыванием членов порядка е. Наш метод состоит, таким образом, в том, чтобы вычислить Wm + cwi = {um + eui)/v , a затем вычесть из результата е раз WmVi/vm-

В приведенной ниже программе команды строк 27-32 выполняют нижнюю половину сложения с удвоенной точностью, используя иной метод получения нужного знака, чем в программе А.

Программа D (Деление с удвоенной точностью). Эта программа работает при тех же предположениях, что и программы А и М.

38 IH EQU 1(1:1)

39 WMl CON 1B-1,BYTE-1(1:1) Размер слова минус единица. I

Ниже приведена таблица с приближенными значениями средних времен выполнения для рассмотренных программ вычислений с удвоенной точностью в сравнении с соответствующими характеристиками подпрограмм вычислений с однократной точностью из раздела 4.2.1.

Однократная точность Удвоенная точность

Сложение 45.5и 84и

Вычитание 49.5и 88и

Умножение 48и 109и

Деление 52и 126.5и

Дополнительная информация относительно обобщений методов из этого раздела для вычислений с утроенной точностью в формате с плавающей точкой приводится в работе Y. Ikebe, САСМ 8 (1965), 175-177.

УПРАЖНЕНИЯ

1. [16] Попытайтесь вручную реализовать методику деления с удвоенной точностью числа 180 ООО на 314 159, полагая, что е = (Положите (иш,И() = (.180, .ООО) и (vm,vi) = (.314, .159) и найдите частное с помощью метода, описанного в тексте после формулы (2).)

2. [20] Стоит ли вставлять между строками 30 и 31 программы М команду "ENTX О" с тем, чтобы предотвратить нежелательное влияние на точность результатов информации, оставшейся в регистре X?

3. [AfSO] Объясните, почему при выполнении программы М не может произойти переполнения.

4. [22] Как следовало бы изменить программу М, чтобы достичь повышения точности за счет сдвига вертикальной линии, показанной на рис. 4, на одну позицию вправо? Перечислите все необходимые изменения и определите, как изменится при этом время выполнения.

► 5. [24] Как следовало бы изменить программу А, чтобы повысить точность за счет перехода к аккумулятору размером 9 байт вместо 8 байт справа от разделяющей точки? Перечислите все необходимые изменения и определите, как изменится при этом время выполнения.

6. [23] Предположим, что в одной и той же основной программе используются и подпрограммы с удвоенной точностью из этого раздела, и подпрограммы с однократной точностью из раздела 4.2.1. Разработайте подпрограмму, которая переводит число из формата с однократной точностью в формат с удвоенной точностью соответственно (1). Разработайте также другую подпрограмму, которая переводит число в формате с удвоенной точностью в число в формате с однократной точностью (или сообщает о переполнении или исчезновении порядка, если преобразование невозможно).

► 7. [МЗО] Оцените точность вычислений в подпрограммах этого раздела, работающих с форматом удвоенной точности, подыскав подходящие постоянные (Ji, (2 и (Js, которые могут служить верхними границами для относительных ошибок

((и®v)-{u + v))/{u + v)\, \{(uS)v)-(uX v))/{u Xv)\, \{{u(2v)-{u/v))/{u/v)\.