Тогда Pm+iin) будет иметь тенденцию к более правильному поведению, нежели Рт{п). Попытаемся подтвердить это количественными вычислениями. Опыт, приобретенный при рассмотрении частного случая, когда m = О, подсказывает, что имеет смысл рассмотреть подпоследовательность Pm+i(10"s). Таким способом можно доказать следующий результат.

Лемма Q. Для произвольного целого числа m > 1 и произвольного вещественного числа 6 > О найдутся такие функции Qmis), Rm{s) и такое целое число Nm{c), что при п > Nmic) и 1 < S < 10 выполняются неравенства

P„(10"s)-Q„(s)-i?„(s)[s>r] <е. Далее, функции Qm{s) и Rm{s) удовлетворяют соотношениям

(10)

Qm(s) = -(-y Qm-l{t)dt +jQ,n-x{t)dt+-j R„,-i{t)dty,

Rmis) = - / R,n-i{t)dt; (11)

Qo{s) = 1, Rois) = -1.

Доказательство. Рассмотрим функции Qm{s) и Rm{s), определенные формулами (11), и положим

Smit)=Qm{t)+Rrnmt>r]. (12)

Докажем лемму инд>кцией по т.

Сначала отметим, что Qi(s) = (1 -f (s - 1) - (10 - r)/9)/s = 1 -f (г - 10)/9s и Ri{s) = (r - s)/s. Из (8) найдем, что Pi(10"s) - 5i(s) = O(n)/10"; это доказывает лемму при т, - 1.

При m > 1 имеем

0<j<n 10<А<101 10"<A<10»s

Необходимо оценить эту величину. Разность

I0<k<10q

10<k<10q

(13)

по индукции меньше qe, когда 1 < g < 10 и j > iVm-i(e)- А поскольку функция Sm-i{t) непрерывна и потому интегрируема по Риману, разность

{t)dt

10<k<10q

(14)

меньше е для всех j, больших некоторого числа N, которое не зависит от q, как следует из определения интегрируемости. N можно выбрать большим, чем Nm-iic).

0.6 г-

7 8 9 10

Рис. 5. Вероятность того, что старший значащий разряд равен 1. Следовательно, при п> N разность

P„(10"s)--( - / Sm-i{t)dt+ Sm-i

{t)dt

(15)

ограничена величиной I]jlo(-/l"") + I]лг<j<n(l/"~) + служит

верхней границей для суммы (13) + (14), которая имеет смысл при всех положительных целых j. Наконец, сумма I]o<j<n(VlO"~-), фигурирующая в (15), равна (1 - 1/10")/9 Поэтому разность

Р„(10"s) - ; Sm-l{t) dt + Sm-l{t) dt

может быть сделана меньше, скажем, 206 при достаточно больших п. Сопоставляя этот вывод с (10) и (11), видим, что доказательство завершено.

Основной смысл леммы Q - утверждение о существовании предела

lim P„(10"s) = 5„(s).

n-»oo

Далее из леммы следует, что предел

(16)

lim Pm(n),

п-*оо

который мог бы быть нашей желанной "вероятностью", не существует ни для какого т, поскольку функция 5m(s) не остается постоянной при изменении s. Представление о создавшейся ситуации дает рис. 5, на котором изображены значения Sm{s) для малых m и г = 2.

Хотя функции 5m(s) и не постоянны, так что у Pm(n) не существует предела, из рис. 5 видно, что уже для m = 3 значение Sm{s) всегда остается очень близким к logio 2 0.30103. Следовательно, есть серьезные основания полагать, что функция 5m(s) очень близка к logioдя всех больших тп и что последовательность функций (Sm{s)) равномерно сходится к постоянной функции logio

Интересно доказать это предположение, вычислив в явном виде Qm{s) и Rmis) для всех т, что и делается в доказательстве следующей теоремы.

Теорема F. Пусть Sm{s) -предел, определенный в (16). Для всякого е > О найдется такое число N(e), что

\Smis) - logio г\<е ДЛЯ1<8< 10, (17)

где т > N{e).

Доказательство. На основании леммы Q этот результат может быть доказан, если показать, что существует такое число М, зависящее от е, что для всех 1 < s < 10 и всех т,> М справедливы неравенства

Q„(s) - logio Л< и \Rm{s)\ < е. (18)

Нетрудно найти решение рекуррентного уравнения (11) для Rm- В самом деле, имеем Ro{s) = -1, Ri.{s) - -X+rjs, Ri{s) - -l + (r/s)(l + ln(s/r)) и в общем случае

(19)

Для значений s из указанного интервала эта функция равномерно сходится к

-l + (r/s)exp(ln(s/r)) =0. Для Qm рекуррентная формула (11) принимает вид

Qm(s) = i(c„ + l + *Q„ i(0), (20)

C,n = l(l%m-l{t)dt + l\,n-lit)dt-l. (21)

Решение рекуррентного уравнения (20) также можно найти без труда; необходимо выписать выражения для нескольких первых членов, сообразить, какова общая формула, и доказать ее по индукции. Получим, что

Qm{s) = 1 + + Cm ilns+---+ j-ici(lns)" j .

(22)

Остается только вычислить коэффициенты Ст, которые в соответствии с формулами (19), (21) и (22) удовлетворяют соотношениям

С1 = (г - 10)/9;

Сш+1 = I (с„ In 10 + с„ 1 (In 10)2 + ... + i. (In Ю)"

r[l + -ln- + ... + -{ln-) j-lOJ.

Эта последовательность кажется очень сложной, однако в действительности ее можно легко исследовать при помощи производящих функций. Положим

C{z) = ciz + C2Z + czz +